Definición de velocidad en mecánica clásica

1. En primer lugar, si la base de OP no depende del tiempo, entonces las dos definiciones (1) y (2) coinciden.

2. P: ¿A qué se refiere la dependencia del tiempo de la base de OP? R: Es la dependencia temporal de la base de OP en relación con otro marco de referencia fiduciario, que en la mecánica newtoniana generalmente se supone que es un marco inercial . Si este es el caso, entonces la definición (1) es la velocidad relativa a un marco inercial, mientras que la definición (2) es la velocidad relativa a la base de OP. Tenga en cuenta que un marco de referencia acelerado conduce a fuerzas ficticias .

3. Ejemplo. Si la base de OP está fijada en la Tierra, entonces la definición (2) se usa en la práctica para medir las velocidades en/cerca de la superficie de la Tierra, por ejemplo, la velocidad de los automóviles, la velocidad del viento, etc.

Tus ecuaciones resultan ser lo mismo cuando usamos coordenadas cartesianas. Esto se debe a que cada coordenada es independiente de su ubicación en el espacio. Por ejemplo en el punto cartesiano$(1,1,1)$, el$\hat x$la dirección es la misma que en el punto cartesiano$(-1,-1,-1)$. Sin embargo, en coordenadas esféricas, la dirección de$\hat r$es diferente en cada una de esas coordenadas espaciales (y de hecho en ese ejemplo son antiparalelas).

Entonces, dicho esto, si tenemos un vector general con dependencia espacial y temporal, no es cierto en coordenadas esféricas que su derivada temporal sea$\left(\frac{dr_1}{dt},\frac{dr_2}{dt},\frac{dr_3}{dt}\right)$, ya que esto supone una dirección constante de los vectores unitarios que forman la base de nuestro sistema de coordenadas.

Más explícitamente, un vector en cualquier base 3D viene dado por$\sum_{i=1}^3r_i\hat {e_i}$, por lo que la derivada temporal de un vector general$^*$:

En coordenadas cartesianas,$\frac{d\hat{e_i}}{dt}=0$, entonces esto muestra la equivalencia de sus dos métodos en su pregunta por coordenadas cartesianas. Pero$\frac{d\hat{e_i}}{dt}\neq0$en coordenadas esféricas, porque como hemos visto, los vectores unitarios van cambiando de dirección a medida que nos movemos en el espacio.

$^*$Otra cosa a tener en cuenta es que el vector de posición en sí no siempre es$\vec r=\sum_{i=1}^3r_i\hat {e_i}$donde todos$\hat{e_i}\neq 0$. Por ejemplo en coordenadas esféricas$\vec r=r\hat r$, ya que el vector de posición siempre apunta desde el origen a la posición de la partícula. Entonces la velocidad en coordenadas esféricas termina siendo$\vec v=\dot r\hat r+r\dot{\hat r}$

Este podría ser el problema que discutes en los comentarios. En coordenadas cartesianas podemos decir que si estamos en el punto$(x,y,z)$entonces nuestro vector de posición es$x\hat x+y\hat y+z\hat z$Pero si usamos algo así como coordenadas esféricas, estando en el punto$(r,\phi,\theta)$significa que el vector de posición es$r\hat r$, no$r\hat r+\phi\hat\phi+\theta\hat\theta$.

En términos generales, estar en la coordenada espacial$(r_1,r_2,r_3)$no se traduce en tener un vector de posición$r_1\hat{r_1}+r_2\hat{r_2}+r_3\hat{r_3}$. Incluso podría argumentar que la forma en que especifica los vectores no depende de cómo especifica sus coordenadas espaciales. Por ejemplo, podría elegir expresar mis coordenadas espaciales en términos de coordenadas cartesianas, pero usar una base esférica:$\vec r=r(x,y,z)\hat r(x,y,z)$