¿Por qué la teoría λϕ4λϕ4\lambda\phi^4, donde λ>0λ>0\lambda>0, no está acotada desde abajo?

$\cal H \sim \frac{\lambda}{4!} \phi ^4$(Nótese que este término va con el signo opuesto en el Lagrangiano).$\lambda$tiene que ser real debido a la unitaridad y tiene que ser positivo debido a la estabilidad en el vacío o, de manera equivalente, ya que el hamiltoniano debe estar acotado desde abajo. Si$\lambda$eran negativos, mayor era el valor de$\phi$, más negativo podría existir el hamiltoniano y, por lo tanto, el estado sin vacío (o estado fundamental).

Ahora, a nivel cuántico, incluso si$\lambda$es positivo en el nivel clásico el vacío puede ser inestable o metaestable. Esto puede suceder si el grupo de renormalización lleva el valor positivo clásico a uno negativo. Para saber si es así hay que conocer la teoría completa. Por ejemplo, el valor medido del autoacoplamiento cuartico del campo de Higgs conduce a un vacío inestable a energías suficientemente altas. Ver esto: Masa de Higgs medida y estabilidad de vacío

la razon atractiva$\lambda \phi^4$no es físico es porque una densidad suficiente de la$\phi$Las partículas tienen una interacción propia que compensa su masa-energía, por lo que es menos energía hacer un condensado de partículas con una gran densidad que dejar el vacío solo.

Esto significa que el vacío decaerá espontáneamente por una monstruosa explosión en una burbuja a un estado en el que el campo rodará hacia más o menos infinito. Para ver esto, puedes considerar la energía del estado de campo clásico

cual es

y es unbouded debajo. El problema de volver esto riguroso (aunque es completamente persuasivo) es que es difícil escribir funciones de onda para campos cuánticos que tienen una densidad de energía finita. Por lo general, usa la integral de ruta para definir esto. Si bien es físicamente obvio que una función de onda para el campo$\phi$que alcanza su punto máximo en un valor constante grande tendrá energía arbitrariamente negativa, construir tal cosa es una pesadilla, porque necesita controlar las correlaciones de corta distancia en la función de onda para asegurarse de que no tengan energía infinita en el ultravioleta, que es un dolor.

Pero hay una forma sencilla de evitar esto, que es cómo todos analizan la estabilidad del vacío hoy, después de Coleman. Use la integral de trayectoria para mostrar que hay un instante que conduce a la caída del vacío. En este caso, la acción euclidiana es

Luego observa que esto puede verse como un sistema clásico con un potencial

y las ecuaciones clásicas de movimiento para esta cosa tienen una solución cerrada de energía cero donde$\phi$oscila a un valor grande en una región, hasta que golpea el$\lambda\phi^4$pared, y vuelve. La contribución del instantón es dar una tasa de nucleación a partir de la$\phi=0$vacío, de una forma calculada en detalle en "Aspects of Symmetry" de Coleman. El punto esencial es que las fluctuaciones alrededor de la solución de energía cero tienen un valor propio negativo, por lo que un determinante negativo, de modo que la raíz cuadrada del determinante tiene una parte imaginaria, lo que lleva a un comportamiento oscilatorio lento en un tiempo imaginario, que es una tasa de disminución en tiempo real. tiempo.

Pero lo usaré de una manera mucho más fácil para argumentar que la teoría no tiene un vacío estable. Suponiendo que el vacío es estable, entonces la función de onda del vacío es la probabilidad de encontrar un$\phi$configuración en cualquier segmento de tiempo constante en tiempo imaginario, utilizando la acción de tiempo imaginario. Esta es una relación integral de trayectoria bien conocida.

Pero la distribución de probabilidad de tiempo imaginario para valores de campo es de la forma$e^{- S}$donde S es ilimitado por debajo! Entonces el campo$\phi$no tiene una función de onda de estado fundamental que esté normalizada en el sentido habitual. Di esta respuesta, aunque la de Drake fue suficiente, porque no pareces convencido.