Reducción de burbujas de vacío y LSZ

Permítanme comenzar esto diciendo que no tengo ningún problema con esto:

$$\langle\Omega|T\phi_H\cdots\phi_H|\Omega\rangle = \frac{\langle 0|T\phi_I\cdots\phi_IS|0\rangle}{\langle 0|S|0 \rangle},$$

lo que quiero saber es por qué queremos calcular$\langle\Omega|T\phi_H\cdots\phi_H|\Omega\rangle$en absoluto.

Digamos que tienes un estado inicial$|i\rangle$en la imagen de interacción de una teoría de campo escalar real que es un estado propio del hamiltoniano libre pero no del hamiltoniano interactuante. Sin embargo, el hecho de que este no sea un estado propio del hamiltoniano no significa que no sea físico, es solo un estado de superposición:

$$|i\rangle = |\Omega\rangle\langle\Omega|i\rangle + \sum_{n=1}^{\infty}|n\rangle\langle n|i\rangle$$

dónde$|n\rangle$son los estados propios del hamiltoniano interactivo completo (cualesquiera que sean). Puedes ampliar$|i\rangle$en términos de un producto de campos que actúan sobre$|0\rangle$(el vacío de la teoría libre):

$$|i\rangle = \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{(a)}\ 2E_{q^{(a)}}\ e^{iq^{(a)} \cdot y^{(a)}}\phi[t;y^{(a)}]\right)|0\rangle$$

y todavía no hay nada malo con esta declaración. Si realmente está consternado, puede ampliar$|0\rangle$en términos de$|\Omega\rangle$y$|n\rangle$y obtenga todo en términos de la base propia hamiltoniana interactiva (si hace esto y luego evoluciona hacia adelante en el tiempo, termina con la primera ecuación). Puedes hacer una construcción similar para$|f\rangle$, el estado final.

Entonces lo que quieres calcular es la probabilidad de que$|i\rangle$se ha convertido en$|f\rangle$después de algún tiempo$t_1 - t_0$ha pasado:

$$P = \langle f|U_{int}(t_1,t_0)|i\rangle$$

y luego usando la expansión anterior para$|i\rangle$y$|f\rangle$puedes obtener:

$$P = \\ \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{(a)}\ 2E_{q^{(a)}}\ e^{iq^{(a)} \cdot y^{(a)}}\right)\prod_{a=1}^{b'}\int\left(d^3z^{(a)}\ 2E_{r^{(a)}}\ e^{ir^{(a)} \cdot z^{(a)}}\right) \\ \langle 0|\prod_{a=1}^{b'}\left(\phi[t;z^{(a)}]\right) U_{int}(t_1,t_0) \prod_{a=1}^{b}\left(\phi[t;y^{(a)}]\right)|0 \rangle$$

y el último término parece

$$\langle 0|T\phi_I\cdots\phi_I U_{int}(t_1,t_0)|0\rangle$$

sin división por$\langle 0|S|0 \rangle$o incluso$t_{0,1} \to \pm \infty,\ U_{int}(t_1,t_0) \to S$necesario.

Mi pregunta es qué está mal con la forma en que construimos$P$eso requiere tomar el límite infinito en el tiempo y dividir las burbujas de vacío ($\langle 0|S|0 \rangle$)? Por lo que sé, nada de esto es necesario; nosotros elegimos$|i\rangle$y no hay nada que nos impida elegir que sea un estado propio de campo libre, y elegimos$|f\rangle$similarmente. Las únicas trampas que puedo ver son si$|i\rangle$es ortogonal a toda la base propia que interactúa (lo que la haría incompleta como base) o que$P=0$porque la evolución bajo el hamiltoniano interactuante toma$|i\rangle$lejos de los estados que no interactúan.