Duda sobre la definición de espacios vectoriales libres.

Sabemos que un mapa de un espacio vectorial está determinado por su acción sobre una base, por lo que si queremos un espacio vectorial libre en un conjunto$X$, eso significa que queremos tener un elemento base para cada elemento de$X$. Vamos a escribir$\delta_x$para el elemento base asociado a$x \in X$.

¿Qué significa que la familia$\{ \delta_x \}_{x \in X}$forma una base? Significa que cada vector en nuestro espacio vectorial se puede escribir como una combinación lineal (¡finita!)$\delta_x$. Es decir, cada vector se ve como

para algunos$x_1, \ldots, x_n \in X$y algo$a_1, \ldots, a_n \in K$.

Ahora, por supuesto, esto es demasiado fácil. Como matemáticos, nuestro trabajo es encontrar presentaciones ingeniosas de objetos a riesgo de confundir a los nuevos estudiantes. De hecho, dependiendo de los matemáticos con los que hable, confundir a los nuevos estudiantes es en realidad una característica más que un error (estoy bromeando, pero solo un poco).

Realmente lo que sucede es que nos gustaría escribir nuestro espacio vectorial libre en términos de otro espacio vectorial más concreto para que sea fácil verificar que realmente es un espacio vectorial. Necesitamos poner algo de complejidad en alguna parte, y al hacer la definición un poco más opaca, puede hacer que las próximas pruebas sean mucho más claras. Esto es genial para la persona que escribe el libro de texto (que sabe por qué funciona la definición opaca, pero no quiere comprobar que la suma es asociativa, etc.) pero es menos bueno para la persona que lee el libro de texto (que todavía está desarrollando la intuición para estos objetos).

Entonces, ¿cómo surge la idea de "combinaciones lineales de$\delta_x$¿Evoluciona con el tiempo?

Bueno, fíjate que necesitamos precisamente la información de un coeficiente$a_x$para cada$\delta_x$. Entonces podemos mirar el vector$\sum_{x \in X} a_x \delta_x$. Por supuesto, dado que solo se nos permiten combinaciones lineales finitas de los vectores base, debemos saber que cada una de estas sumas es finita. Es decir, que todos menos un número finito de los$a_x$son$0$.

Así que podemos salirnos con la nuestra con una función$a : X \to K$de modo que$a_x = 0$para todos menos un número finito$K$. Por supuesto, una vez que tenemos estas funciones, es fácil ver que no necesitamos escribir el$\delta_x$ya no. Estas funciones en sí mismas forman un espacio vectorial, y las funciones$\chi_x : X \to K$con$\chi_x(y) = \begin{cases} 1 & y=x \\ 0 & y \neq x \end{cases}$formar una base.

(Como ejercicio rápido, ¿ves cómo funciona la función$\chi_x$corresponde al vector$\delta_x$de forma natural?)

Entonces vemos que el espacio vectorial puede considerarse como funciones$X \to K$de apoyo finito. Exactamente la definición que se le presentó.

Espero que esto ayude ^_^

No creo que elijamos esta representación en particular. Viene naturalmente por el hecho de que cada elemento$V\in F(X)$puede representarse de manera única como una combinación de los elementos de$X$

Es natural definir el mapeo que se asocia a$V$y$x$el coeficiente de$V$en el elemento$x$

Hay dos formas de definir un espacio vectorial libre sobre un conjunto$X$. Dada una composición externa$c\cdot x$dónde$c\in\mathbb{F}$y$x\in X$.

Camino 1:-

toma el conjunto$X$y deja$\displaystyle F(X)=\{\sum_{\text{finite}}c_{x}x:x\in X\,,c_{x}\in\mathbb{F}\}$

O equivalente

Eso es$F(X)$es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales finitas de elementos de$X$.

Entonces ves que este conjunto tiene todas las propiedades requeridas de un espacio vectorial.

Por ejemplo:-

Dejar$v,v'\in F(X)$. Entonces$v=\sum c_{x}x$tal que$c_{x}=0$para todos menos un número finito$x\in X$.

y$\displaystyle v'=\sum c'_{x}x$tal que$c'_{x}=0$para todos menos un número finito$x\in X$.

Entonces$\displaystyle v+v'=\sum_{x}(c_{x}+c'_{x})x$es en$F(X)$como$c_{x}+c'_{x}=0$para todos menos un número finito$x\in X$.

Puedes verificar que$F(X)$satisface todas las propiedades de un espacio vectorial.

camino 2 .

Dejar$Fun(X)$denote el conjunto de todas las funciones de$X\to\mathbb{F}$tal que$f(x)=0$para todos menos un número finito$x\in X$.

A continuación, puede volver a verificar fácilmente que este conjunto$Fun(X)$forma un espacio vectorial bajo la suma puntual de función y$(cf)(x)=c\cdot f(x),\forall x\in X,\,c\in\mathbb{F}$.

Ahora bien, estos dos espacios son isomorfos.

Definir$\phi:Fun(X)\to F(X)$tal que si$f(x)$no es cero para$x_{1},x_{2},...x_{n}$en$X$y toma valores$c_{1},c_{2},...c_{n}$.

Entonces$\phi(f)=\sum_{x}c_{x}x$. Dónde$c_{x}=c_{i}$para$x=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$y$c_{x}=0$de lo contrario.

Luego esto$\phi$es un isomorfismo.

Ahora, para responder a su pregunta, ¿por qué se define así? ¿Por qué las funciones tienen que tomar un valor distinto de cero solo en un número finito de puntos? La razón simple es que desea algo similar al tramo lineal de un conjunto. Y se define precisamente como el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales finitas de elementos del conjunto. La suposición finita es vital porque no le hemos dado ningún sentido a las sumas infinitas. Tenga en cuenta que no hay noción de convergencia aquí. Ahora las funciones están definidas de tal manera que en realidad estás identificando las funciones con los elementos del tramo libre de$X$. Por lo tanto, necesita el sentido de soporte finito si desea que estos dos espacios sean isomorfos.