Variación del problema de Cumpleaños - Grupo de n personas

Sé que esto se ha publicado varias veces y he revisado la mayoría de las publicaciones relevantes. Aquí hay uno que estoy teniendo un momento difícil de resolver:

Hay 450 personas en una habitación; (1) cuántos de ellos se espera que tengan el mismo cumpleaños con otra persona en la habitación, (2) con al menos otras 2 personas en la habitación y (3) con al menos 3.

(1) es fácil: según el principio del casillero, se espera que 450-365 (o 366) = 85 personas tengan el mismo cumpleaños.

¿Cómo hacemos (2) y (3)?

Estoy pensando que en 85 personas tenemos 85 ∗ 84 2 = 3570 pares posibles por lo que la probabilidad de que una tercera persona comparta uno de sus cumpleaños es 1 − 364 365 85 . Y entonces, ¿cómo encontramos el número esperado de personas para cada caso?

¡Cualquier ayuda es muy apreciada! ¡Gracias!

No entiendo tu uso del principio del casillero. Utilice la Linealidad de la expectativa en su lugar, con una variable indicadora para cada persona en la sala.
Del principio del casillero obtienes eso al menos 86 las personas comparten sus cumpleaños (no necesariamente en el mismo día). También podrías tener 100 personas que comparten un cumpleaños con cierta probabilidad. Necesita encontrar el número esperado de personas que comparten un cumpleaños, no menos importante.

Respuestas (1)

Sugerencias:

  • Eligiendo a un individuo en particular, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona comparta su cumpleaños?

    • sin otras personas
    • con exactamente una persona
    • con exactamente dos personas?

  • Entonces, para ese individuo, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona comparta su cumpleaños?

    • con al menos una persona
    • con al menos dos personas
    • con al menos tres personas?

  • Y usando la linealidad de la expectativa, ¿cuál es el número esperado de personas que comparten su cumpleaños?

    • con al menos una persona (mucho más o 85 o 86 )
    • con al menos dos personas
    • con al menos tres personas?

Siguiendo las pistas:

  • Al elegir a un individuo en particular, la probabilidad de que esa persona comparta su cumpleaños:

    • sin otras personas es 364 449 365 449
    • con exactamente una persona es ( 449 1 ) 364 448 365 449
    • con exactamente dos personas es ( 449 2 ) 364 447 365 449

  • Entonces, para ese individuo, la probabilidad de que esa persona comparta su cumpleaños:

    • con al menos una persona es 1 − 364 449 365 449
    • con al menos dos personas es 1 − 364 449 365 449 − ( 449 1 ) 364 448 365 449
    • con al menos tres personas es 1 − 364 449 365 449 − ( 449 1 ) 364 448 365 449 − ( 449 2 ) 364 447 365 449

  • Y usando la linealidad de la expectativa, el número esperado de personas que comparten su cumpleaños

    • con al menos una persona es 450 ( 1 − 364 449 365 449 )
    • con al menos dos personas es 450 ( 1 − 364 449 365 449 − ( 449 1 ) 364 448 365 449 )
    • con al menos tres personas es 450 ( 1 − 364 449 365 449 − ( 449 1 ) 364 448 365 449 − ( 449 2 ) 364 447 365 449 )

y estos valores son aproximadamente 318.7 (mucho más que o 85 o 86 ) y 156.8 y 57.1

Henry: Para el primer caso (probabilidad de que alguien comparta su cumpleaños con ninguna otra persona): ¿No es cero?
@Sal.Cognato Es mucho más que cero: las primeras tres subviñetas provienen de una distribución binomial con parámetros 450 − 1 = 449 y 1 365 , por lo que la probabilidad de que una persona en particular comparta su cumpleaños con ninguna otra persona es ( 364 365 ) 449 ≈ 0.29176
¡Gracias! Entonces, el número esperado de personas que comparten su cumpleaños con 1 más, es 1 1 − 0.29176 = 1,41?
¡Extraño! También esperaría que en cualquier grupo de personas> 365, la probabilidad sea del 100%, pero creo que el punto difícil es que esto debe aplicarse a cualquier persona, ¿no?
@TomGalle No: la probabilidad de que una persona comparta su cumpleaños con al menos otra persona es 1 − 0.29176 y el número esperado de personas que comparten su con al menos otra persona es 450 veces esto
¿Qué tal el segundo caso "al menos dos personas"? Lo es ( 363 365 ) 448 ?
@TomGalle: No. Solo adivinar un patrón no funcionará. Seguir las sugerencias en orden haría esto más fácil
¡No entiendo por qué ustedes son tan parcos en dar una solución completa a un problema que no es abc! Si alguien (¡como yo!) está interesado en leer la solución, ¡tiene que leer cientos de comentarios!
@JuanManuelPrada Porque a veces preferimos que las personas aprendan a que les hagan los deberes. Este tipo de pregunta se ha hecho antes, por ejemplo, en math.stackexchange.com/questions/35791/…
@Henry, estoy de acuerdo, pero esto no parece ser una tarea (y lo he visto muchas otras veces). Si lee el perfil de OP, dice "Comerciante de productos básicos de energía. Me gusta (intentar) resolver problemas matemáticos, acertijos y acertijos en mi tiempo libre" :))
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