Sacar calcetines al azar de una bolsa

Question

Sacar calcetines al azar de una bolsa

Jorge

Hay 5 pares de calcetines en una bolsa, por lo que un total de 10 calcetines. Cada par de calcetines es de un color diferente a los demás. Después de haber sacado al azar 4 calcetines de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de sacar 4 calcetines de diferentes colores?

Mi respuesta fue obtener primero el número total de posibles sorteos como ${10 \choose 4} = 210$ .

Luego procedería a calcular el número de posibles selecciones de 2 pares de calcetines de los 4 sorteos: ${4 \choose 2} {4 \choose 2} = 36$ .

Del mismo modo, el número de extracciones de 1 par de calcetines + 2 calcetines sueltos sería ${4 \choose 2} {4 \choose 1} {4 \choose 1} = 96$ .

La probabilidad de sacar 4 calcetines de diferentes colores sería entonces el conjunto de eventos complementario a la suma de los 2 anteriores: $P($ sin par coincidente $) = 1 - \frac{36 + 96}{210} = 0.372$ .

Sin embargo, la respuesta al problema apunta a un resultado diferente. Entiendo que el hecho de que haya 5 colores debería tenerse en cuenta en alguna parte, solo consideré el número 4 (los sorteos) en mi combinatoria y supongo que esta es la fuente de mi error.

lulú

Hay

10

$10$ opciones posibles para los dos pares (

(\binom{5}{2}) = 10

$\binom 52=10$ ). No estoy seguro de dónde está su

36

$36$ viene de.

lulú

Creo que un conteo directo es más fácil de todos modos. Hay

5

$5$ formas de elegir el

4

$4$ pares de calcetines que desea elegir. Luego dos opciones de cada par. Por eso

5 \times 2^{4}

$5\times 2^4$ .

Enrique

Su

96

$96$ también está mal y debería estarlo

120

$120$

Marc van Leeuwen

¿Qué crees que significa obtener una probabilidad de

36

$36$ o

96

$96$ ?

Respuestas (3)

Sacar calcetines al azar de una bolsa

Hay $10$ opciones posibles para los dos pares ( $\binom 52=10$ ). No estoy seguro de dónde está su $36$ viene de.
Creo que un conteo directo es más fácil de todos modos. Hay $5$ formas de elegir el $4$ pares de calcetines que desea elegir. Luego dos opciones de cada par. Por eso $5\times 2^4$ .
¿Qué crees que significa obtener una probabilidad de $36$ o $96$ ?

Salmón · Answer 1

Creo que no necesita hacer estos cálculos engorrosos. Permítame mostrarle otro enfoque. Vamos a mostrar los calcetines usando cuadros, cada cuadro adyacente representa el mismo color.

12 34 56 78 910

$\color{red}{\fbox{1}\fbox{2}}\quad\color{blue}{\fbox{3}\fbox{4}}\quad\color{green}{\fbox{5}\fbox{6}}\quad\color{orange}{\fbox{7}\fbox{8}}\quad\color{purple}{\fbox{9}\fbox{10}}$

Ahora supongamos que tenemos algunas pegatinas que usamos para seleccionar qué calcetín se seleccionará. Cuando coloquemos estas pegatinas en estas cajas, significará que seleccionaremos esa caja, es decir, ese calcetín.

Al principio, podemos seleccionar cualquiera de ellos, por lo que tenemos
$\frac{10}{10} = 1$ $\frac{10}{10}=1$
Supongamos que seleccionamos la casilla $2$ , entonces no podemos seleccionar el cuadro $1$ , porque todos los cuadros seleccionados deben ser de diferentes colores. Entonces nosotros tenemos $8$ elecciones entre $9$ cajas posibles tales que
$\frac{8}{9}$ $\frac{8}{9}$
Ahora supongamos que ponemos la pegatina en la caja. $5$ , así que queda $6$ opciones posibles entre $8$ cajas, así
$\frac{6}{8}$ $\frac{6}{8}$
Suponga que suponga que la etiqueta se ha colocado en la caja. $10$ , ahora tenemos $4$ elecciones adecuadas entre $7$ , entonces
$\frac{4}{7}$ $\frac{4}{7}$

Ahora es el momento de encontrar su producto tal que

1 \times \frac{8}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{63} = 0.380952381

$1 \times \frac{8}{9}\times \frac{6}{8}\times \frac{4}{7 }= \frac{24}{63}=0.380952381$

Entiendo lo que estás haciendo, pero creo que TonyK lo explicó más claramente. Hablas de una secuencia particular de elecciones, pero lo que realmente quieres decir es que debemos seleccionar un color diferente con cada elección sucesiva.

Enrique · Answer 2

Su método no es el más fácil, pero si se sigue correctamente da la respuesta.

Si el número de selecciones es ${10 \choose 4}=210$ posibilidades igualmente probables

entonces el número de formas de obtener dos pares es ${5 \choose 2}{2 \choose 2}^2=10$

y el número de formas de obtener un par es ${5 \choose 1}{2 \choose 2}{4 \choose 2}{2 \choose 1}^2 = 120$

partida $210-10-120=80$ formas de no obtener pares, o directamente como comentó lulu ${5 \choose 4}{2 \choose 1}^4=80$

y una probabilidad de $\frac{80}{210}=\frac{8}{21}\approx 0.381$ .

Sugiero agregar el conteo directo ya que es más fácil y mencionar que es el método que lulu describió en los comentarios.

tonyk · Answer 3

La probabilidad de que el segundo calcetín sea de un color nuevo es $\frac89$ .
La probabilidad de que el tercer calcetín sea de un color nuevo es $\frac68$ .
La probabilidad de que el cuarto calcetín sea de un color nuevo es $\frac47$ .

Y eso es todo lo que necesitas.

@Bulbasaur: El tuyo es cinco veces más largo y requiere un suministro de calcomanías.

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Jorge

lulú

lulú

Enrique

Marc van Leeuwen

Respuestas (3)

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NF Taussig

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Enrique

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