Probabilidad de que al menos 333 personas compartan el mismo cumpleaños en un grupo de nnn personas

Por lo que puedo decir, sus métodos no funcionan y no se pueden salvar.

Este es un problema difícil que no se puede resolver por medios convencionales. Para encontrar la probabilidad de que al menos tres personas tengan un cumpleaños en común, calculemos la probabilidad de que tres personas no tengan un cumpleaños en común. esto es igual a

$$\frac{n^{365}}{365^n}.\tag 1$$ Aquí,$[x^n]f(x)$es el coeficiente de$x^n$en el polinomio$f(x)$. Quieres uno menos el anterior. Otra forma de escribir esto es $$\sum_{a_1,a_2,\dots,a_{365}}\frac1{365^n}\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_{365}!}.\tag 2$$ donde la suma varía sobre todos los vectores$(a_1,a_2,\dots,a_{365})$de números enteros entre$0$y$2$cuya suma es$n$. Esto funciona porque cada vector especifica una distribución válida de cumpleaños donde ningún cumpleaños se repite tres veces o más, y el coeficiente multinomial da el número de selecciones ordenadas de cumpleaños que tienen esa distribución, y luego cada uno se multiplica por la probabilidad$(1/365)^n$de que ocurra esa selección ordenada. Puedes comprobarlo cuando te expandas$(1)$y colecta el coeficiente de$x^{n}$, obtienes exactamente$(2)$.

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Si está de acuerdo con un resultado aproximado, la cantidad esperada de trillizos de personas que comparten un cumpleaños común es$\lambda =\binom{n}{3}\cdot \frac1{365}^2$, y el número de trillizos con un cumpleaños común es aproximadamente Poisson con parámetro$\lambda$. Por lo tanto, la probabilidad de que algún trillizo comparta un cumpleaños es aproximadamente

$$1-e^{-\binom{n}3/365^2}.$$

Si bien no existe una fórmula simple para la expresión exacta dada en la ecuación de Mike Earnest (2), existen formas eficientes de evaluarla para cualquier$\ n\ $, en uno de los cuales se ha implementado el paquete pmultinomdel lenguaje de programación estadística R . Aquí hay un programa R para comparar las probabilidades exactas de que al menos tres personas tengan un cumpleaños en común con la aproximación de Poisson para$n=90\ $a$\ 100\ $:

library(pmultinom)
us<-1:365
ps<-1:365
for (i in 1:365){
  us[i]<-2
  ps[i]<-365^(-1)
}
for(n in 90:100){
  a = 1-pmultinom(upper=us,size=n,probs=ps,method="exact")
  b=1-exp(-n*(n-1)*(n-2)/(6*365^2))
  v<-c(n,a,b)
  print(v)
}

Ejecutarlo en línea aquí produce los siguientes resultados:

$$\begin{matrix} n &\mbox{exact} & \mbox{Poisson approx.}\\ 90 & 0.5341956 & 0.5859698\\ 91 & 0.5456984 & 0.5982312\\ 92 & 0.5571482 & 0.6103927\\ 93 & 0.5685366 & 0.6224440\\ 94 & 0.5798554 & 0.6343752\\ 95 & 0.5910964 & 0.6461763\\ 96 & 0.6022517 & 0.6578381\\ 97 & 0.6133135 & 0.6693514\\ 98 & 0.6242745 & 0.6807075\\ 99 & 0.6351272 & 0.6918979\\ 100 & 0.6458645 & 0.7029148 \end{matrix}$$ Entonces, para este rango de valores, la aproximación de Poisson es aproximadamente$10\%$demasiado largo.