Resolviendo problema de cumpleaños sin complemento

Al probar una nueva forma, es prudente buscar una clase familiar de problema, como lanzamientos de dados en Yahtzee, (excepto que aquí es un problema).$365$dado de una cara lanzado 4 veces.)

Luego podemos "encamisarlo" en un formato como [Elegir caras para que aparezcan]$\times$[Permutar]

Hay cuatro posibilidades:

$4\;of\;a\;kind: [\binom{365}1] \times [\frac {4!}{4!}]$

$3-1\;of\;a\;kind: [\binom{365}1\binom{364}1] \times [\frac{4!}{3!1!}]$

$2-2\;of\;a\;kind: [ \binom{365}2] \times [\frac{4!}{2!2!}]$

$2-1-1\;of\;a\;kind: [\binom{365}1\binom{364}2 \times [\frac{4!}{2!1!1!}]$

Sume para obtener formas favorables y divida por$365^4$para obtener el resultado final.

Asumiendo 365 cumpleaños igualmente probables, aquí hay una simulación de 10 millones de realizaciones del número de cumpleaños únicos$X$de 4. Podría ayudarlo a resolver el problema del conteo excesivo.

m = 10^7;  x = numeric(m)
for (i in 1:m) {
   room = sample(1:365, 4, repl=T)
   x[i] = length(unique(room))  }
table(x)/m
x
        2         3         4 
0.0000510 0.0163006 0.9836484 

Note ese evento$\{X = 1\}$no ocurrió ni una sola vez en 10 millones de 'habitaciones'. No es realmente sorprendente; su probabilidad es solo 2.056465e-08. Probabilidades de$X = 3$y$4$debe tener una precisión de tres lugares.

Anexo (después de un voto negativo inexplicable): el Caso 4 de OP tiene un factor incorrecto de 2 según lo comentado por @ErickWong (que solicitó y está de acuerdo con mi simulación). Este es también el caso de @trueblueanil 2-1-1, que de nuevo concuerda con mi simulación$P(X=3) \approx 0.016.$(+1) [Además, sdding casos 3-1y 2-2da menos de .0001, como en la simulación para$P(X=2).$]