¿Cómo se debe entender la notación de "integral indefinida" ∫f(x)dx∫f(x)dx\int f(x)\;dx en cálculo?

A menos que el signo igual "=" en la primera identidad de (1) no se considere [igual] que el signo igual en "3+5=8"...

Esto es precisamente lo que se hace.

Cuando pasas a estudiar la teoría de la medida y consideras$L^p$espacios, dos funciones se consideran "iguales" si solo difieren en un conjunto "pequeño" de puntos (donde "pequeño" tiene una definición teórica de medida precisa). Los matemáticos no son computadoras y saben cómo usar el contexto de una declaración para comprender qué versión de equals se está usando.

En el mundo de la computación de antiderivadas, "=" significa "diferir por una constante", o más generalmente, "diferir solo por una constante en cada componente conectado de sus dominios".

Puede meterse en problemas cuando olvida qué versión de "=" está pensada y piensa que "=" significa más de lo que realmente significa. (Hay algunos acertijos matemáticos basados ​​en eso). Creo que es el mismo problema que si fueras a la sala de profesores y preguntaras por el "profesor de cálculo", como esperabas, el profesor Liang, que es 6'4" de altura y querías ayuda para sacar algo de un estante alto, pero no te diste cuenta de que el profesor Smith, que mide 4'11", también enseña cálculo, y ese es el que aparece. Pensaste que especificar "profesor de cálculo" conllevaba la altura del profesor Liang, pero ese no es el caso.

Creo que el problema no es solo para antiderivadas, sino que, en general, tiene que lidiar con el abuso de la notación para funciones multivaluadas.

Tomemos por ejemplo el logaritmo complejo$\ln(z)=\overbrace{\ln(r)+i\theta}^{\operatorname{Ln}(z)}+i2k\pi$.

Tienes que entender

$$\ln(z_1z_2)\color{red}=\ln(z_1)+\ln(z_2)$$

Como

$$\exists (k_1,k_2,k_3)\in\mathbb Z^3\mid \operatorname{Ln}(z_1z_2)+i2k_3\pi=\operatorname{Ln}(z_1)+i2k_1\pi+\operatorname{Ln}(z_2)+i2k_2\pi$$

De la misma manera, la expresión

$$\int (f+g)\color{red}=\int f+\int g$$

debe ser visto como

$$\exists (C_1,C_2,C_3)\in\mathbb R^3\mid H(x)+C_3=F(x)+C_1+G(x)+C_2$$

En todos estos casos, simplemente puede reagrupar todos los términos constantes en RHS y escribir:

$$\int (f+g)\color{red}=F(x)+G(x)+C$$

Este es el signo igual rojo$\color{red}=$que está sobrecargado del signo igual normal$=$, le damos propiedades adicionales (igualdad módulo a constante) cuando el contexto se refiere a funciones multivaluadas, eso es todo.

No puedo comentar todavía, no tengo suficiente reputación.

Indefinido significa que no hay límite superior e inferior. Por lo general, cuando no se indica un límite para la integral, generalmente se integra en el infinito, por ejemplo, se integra para el todo$\mathbb R$.

A medida que escribe antiderivadas, generalmente se hace agregando la constante y no se dan/mencionan límites en absoluto. Es un poco confuso, sí. A veces también se dan algunas condiciones iniciales u otras condiciones y luego puedes determinar esas constantes.

Entonces, si se usa una palabra indefinida, la integración se realiza hasta el infinito y no es necesario agregar constantes arbitrarias.

Si se usa la palabra definida (no indefinida) y se omite el intervalo de integración, entonces sume las constantes arbitrarias.

Permítanme sugerir también la siguiente vista:

$$\int f(x)dx = \{F: F^{'}(x) = f(x),x \in A \} = \{F(x) +C\}$$ entonces la integral indefinida es 1) un conjunto de funciones cuya derivada es igual al integrando en 2) algún conjunto$x \in A$. Muchas fuentes omiten estos detalles, posiblemente, porque son algún tipo de acuerdo matemático silencioso.

Así cuando, por ejemplo, se escribe$\int 2\cdot xdx = 2\cdot\int xdx$, entonces sabemos que aquí tenemos igualdad entre conjuntos$\{F^{'}(x) = 2x\} = \{2\}\cdot \{F^{'}(x) = x \} = \{ x^2 +C\}$.

El segundo detalle, el conjunto sobre el que se mantiene la igualdad derivada, es más sutil. cuando escribimos$\int \frac{1}{x}dx = \ln x +C$, entonces sabemos que el integrando, en el caso de los números reales, se define en un conjunto más amplio, luego en el lado derecho y nuevamente en silencio entendemos ese conjunto en el que tiene sentido la igualdad derivada. Incluso podemos escribir$\int \text{sgn}(x) dx = |x| +C$, aunque el integrando ni siquiera es una función continua y en la función de la izquierda a la derecha no tiene derivada en$0$, conjunto de comprensión en silencio$\mathbb{R} \setminus \{0\}$para la igualdad derivada.

Para resumir: las integrales indefinidas deben considerarse como una familia de funciones, y la suma de tales conjuntos está bien definida; simplemente define la adición como la ha hecho.

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Primero arreglamos alguna notación:

• Dejar$U\subset \Bbb{R}$ser un conjunto abierto no vacío (piense en un intervalo abierto si lo desea).
• Dejar$D_{U,\Bbb{R}}$sea ​​el conjunto de todas las funciones diferenciables$F:U \to \Bbb{R}$.
• Dejar$E_{U,\Bbb{R}}$ser el conjunto de todas las "funciones exactas"; es decir, el conjunto de$f:U \to \Bbb{R}$, tal que existe$F\in D_{U,\Bbb{R}}$tal que$F' = f$(Dicho de otra manera,$E_{U,\Bbb{R}}$es la imagen de$D_{U,\Bbb{R}}$bajo el mapeo derivado$F\mapsto F'$).
• Finalmente, deja$Z_{U,\Bbb{R}}$(Z por cero lol) ser el conjunto de todos$F\in D_{U,\Bbb{R}}$tal que$F'=0$(es decir, por cada$x\in U$,$F'(x)=0$).

En aras de la simplicidad, ya que voy a mantener el conjunto abierto$U$arreglado para la mayor parte de esta discusión, solo escribiré$D,E,Z$en lugar de$D_{U,\Bbb{R}},E_{U,\Bbb{R}},Z_{U,\Bbb{R}}$. Ahora, nota que$D,E,Z$son todos espacios vectoriales reales, y que$Z$es un subespacio vectorial de$D$. Entonces, podemos considerar el espacio vectorial cociente$D/Z$.

Con esto en mente, formalmente, la integración indefinida/antidiferenciación es un mapa$E \to D/Z$. Entonces, dada una función$f\in E$, cuando escribimos$\int f(x)\, dx$, lo que queremos decir es que

$$\begin{align} \int f(x)\, dx &:= \{G \in D| \, \, G' = f\} \end{align}$$ (por supuesto la carta$x$que aparece es una "variable ficticia", no tiene un significado real). Y supongamos que sabemos que$F\in D$es una función particular tal que$F' = f$. Entonces, $$\begin{align} \int f(x)\, dx &= \{G \in D| \, \, G' = f\} = \{F + g | \, \, g \in Z\} \end{align}$$

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Por ejemplo, tome$U = \Bbb{R}$, y deja$f(x) = x^2$. Entonces, cuando escribimos$\int x^2 \, dx$, lo que queremos decir es la familia de funciones$\{F| \, \text{for all $x\in \Bbb{R}$, $F'(x) = x^2$}\} = \{x \mapsto \frac{x^3}{3} + C | \, \, C \in \Bbb{R}\}$.

A continuación, si tenemos$f(x) = 2x + \cos x$, y$U = \Bbb{R}$de nuevo, entonces tenemos (después de probar la linealidad)

$$\begin{align} \int 2x + \cos x \, dx&= \int 2x\, dx + \int \cos x \, dx \\ &= \{x \mapsto x^2 + C | \, \, C \in \Bbb{R}\} + \{x \mapsto \sin x + C| \, \, C\in \Bbb{R}\} \\ &:= \{x \mapsto x^2 + \sin x + C |\, \, C \in \Bbb{R}\} \end{align}$$ El último signo igual es por definición de cómo se define la suma en el espacio del cociente$D/Z$. Podemos reescribir esta cadena de igualdades usando el$[\cdot]$notación para las clases de equivalencia de la siguiente manera: $$\begin{align} \int 2x + \cos x \, dx &= \int 2x \, dx + \int \cos x \, dx \\ &= [x\mapsto x^2] + [x \mapsto \sin x] \\ &=[x \mapsto x^2 + \sin x] \end{align}$$

Entonces, realmente, cualquier cálculo de integral indefinida que tengas que hacer, si quieres ser súper preciso, solo pon$[]$alrededor de todo, para indicar que está considerando clases de equivalencia de funciones; con esto todos los signos iguales que aparecen arriba son igualdades reales de elementos en el espacio cociente$D/Z$.

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En caso de que no se sienta cómodo con los espacios de cociente, aquí hay una breve revisión: podemos definir una relación (que puede verificar fácilmente que es una relación de equivalencia)$\sim_Z$en$D$diciendo$F_1 \sim_Z F_2$si y solo si$F_1 - F_2 \in Z$(en palabras, dos funciones están relacionadas si y solo si la diferencia de sus derivadas es$0$, o equivalente,$F_1\sim_ZF_2$si y solo si tienen las mismas derivadas$F_1' = F_2'$). Entonces, definimos$D/Z$ser el conjunto de todas las clases de equivalencia.

Esto significa un elemento de$D/Z$parece$\{F + f| \, \, f \in Z\}$, dónde$F\in D$. Por lo general, usamos la notación$[F]_Z$o simplemente$[F]$para denotar la clase de equivalencia que contiene$F$; es decir$[F]= \{F + f| \, \, f \in Z\}$. Ahora, es una construcción estándar de álgebra lineal ver que al cociente de espacios vectoriales también se le puede dar naturalmente una estructura de espacio vectorial, donde definimos la suma y la multiplicación escalar por: para todo$c\in \Bbb{R}$, todo$[F],[G] \in D/Z$,

$$\begin{align} c\cdot[F] +[G] := [c\cdot F + G] \end{align}$$ Esta es una operación bien definida. Entonces, esta es una forma de definir la suma de dos conjuntos y multiplicar un conjunto por un múltiplo escalar, todo en el contexto de espacios vectoriales de cociente.

Finalmente, no estoy seguro de qué tan cómodo te sientes con el álgebra lineal, pero déjame agregar esto, y tal vez te resulte útil en el futuro. Aquí hay una construcción muy general y un teorema:

Dejar$V,W$ser espacios vectoriales sobre un campo$\Bbb{F}$, dejar$T:V \to W$Sea un mapa lineal. Entonces, esto induce un mapa bien definido en el espacio del cociente$\overline{T}: V/\ker(T) \to W$por

$$\begin{align} \overline{T}([v]) := T(v) \end{align}$$ El primer teorema del isomorfismo del álgebra lineal establece que$V/\ker(T)$es isomorfo a$\text{image}(T)$, y eso$\overline{T}: V/\ker(T) \to \text{image}(T)$es un isomorfismo (es decir, lineal con inversa lineal y también biyectiva).

La razón por la que menciono esto es porque se relaciona mucho con la integración indefinida. Por ejemplo, tome$V = D_{U,\Bbb{R}}$ser el espacio de todas las funciones diferenciables, y$W = E_{U,\Bbb{R}}$, y considere el mapeo derivado$T =\frac{d}{dx}$ir desde$V \to W$. Ahora, la imagen del mapa de diferenciación$\frac{d}{dx}$es$W = E_{U,\Bbb{R}}$por construcción, y el núcleo de este mapa es exactamente$Z_{U,\Bbb{R}}$(el conjunto de funciones cuya derivada es$0$). Entonces, por las consideraciones generales anteriores, esto induce un isomorfismo$\overline{T}:V/\ker(T) \to W$(es decir, conectando todo, tenemos un isomorfismo$\overline{\frac{d}{dx}}: D_{U,\Bbb{R}}/Z_{U,\Bbb{R}} \to E_{U,\Bbb{R}}$), y la integración indefinida se define como la inversa de este mapa:

$$\begin{align} \int := \left(\overline{\frac{d}{dx}}\right)^{-1}: E_{U,\Bbb{R}} \to D_{U,\Bbb{R}}/Z_{U,\Bbb{R}} \end{align}$$