¿La incertidumbre es necesariamente distinta de cero para estados no propios?

Como dijiste, un observable$\hat{F}$está perfectamente determinada para y solo para todas las funciones de onda que son función propia del operador$\hat{F}$.

$$\hat{F} \psi = \langle \hat{F} \rangle \psi \text{.}$$

El operador de posición no tiene funciones propias en absoluto:

$$\begin{align*} \hat{x} \psi &= \langle \hat{x} \rangle \psi \\ x \psi &= \langle \hat{x} \rangle \psi && \text{if $\psi \neq 0$} \\ x &= \langle \hat{x} \rangle \end{align*}$$

La única solución sería$\psi = 0$que no es normalizable, es decir, no es una función de onda. De hecho, no es la única solución posible. Una función que es igual a$0$para todos$x \neq x_0$es una función propia. En ese escenario, puedes pensar en 2 tipos de función:

1.

$$\psi = \begin{cases} 0 &\text{if}\qquad x \neq x_0 \\ C &\text{if}\qquad x = x_0 \end{cases}$$

2.

$$\psi = \begin{cases} 0 &\text{if}\qquad x \neq x_0 \\ \infty &\text{if}\qquad x = x_0 \end{cases}$$

La primera no es una función de onda ya que no es normalizable. Y la segunda, la conocida función delta de Dirac, no es integrable al cuadrado.

Se podría decir: "¿Qué tal$\psi = \sqrt{\delta(x-x_o)}$?'' En ese caso, parece ser que sí es integrable al cuadrado. Aparentemente no hay problema. No tengo una respuesta concreta para rechazar eso, pero no creo$\sqrt{\infty}$en$x_0$tiene sentido en absoluto. Yo diría que ni siquiera es una función.

Lo mismo para el impulso, solo está perfectamente determinado para una onda plana que no es nuevamente integrable al cuadrado.

Derivación:

$$\begin{align*} 0 &= \sigma_{F}^2 \\ &= \langle (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^2\rangle \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^2 \psi \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Como$\hat{F}$es hermitiano,$(\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)$también es hermético.

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^{\dagger} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^{*} \psi^{*} \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Definición$\phi = (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)\psi$.

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\mathbb{R}^3} \phi \phi^{*} \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} |\phi|^2 \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Lo que implica (excepto de$\phi$siendo una función igual a$0 \,\forall x\neq x_0$, pero ya he dicho lo que sucede en ese caso)

$$\begin{align*} 0 &= |\phi|^2 \\ 0 &= \phi \\ 0 &= (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)\psi \\ \hat{F} \psi &= \langle \hat{F} \rangle \psi \end{align*}$$

Todos los pasos son$\iff$.