Valor esperado del operador para el sistema de partículas que no interactúan (fermiones)

Creo que esta es una situación en la que es mucho más fácil obtener el resultado deseado utilizando una segunda cuantización. Para empezar, consideremos un sistema de partículas idénticas y dejemos$O = \sum\limits_{k} o_k$denote un operador genérico de un cuerpo en el espacio de Fock respectivo. En el lenguaje de la segunda cuantización, podemos expresar este operador como

$$O = \sum\limits_{ij} \langle i|o|j\rangle \,a_i^\dagger a_j \quad .$$ El valor esperado de un operador (de un cuerpo) en el estado$\rho$es definido por$\langle O \rangle_\rho \equiv \mathrm{Tr} \, \rho \, O$, donde se realiza el trazo sobre el espacio de Fock. Al definir los elementos de la matriz de densidad reducida de un cuerpo en el estado$\rho$como $$\gamma_{ij} \equiv \mathrm{Tr}\, \rho\, a_j^\dagger a_i \quad ,$$ vemos que podemos escribir el valor esperado de$O$como $$\langle O \rangle _\rho = \mathrm{tr}\, \gamma \,o \quad ,$$ donde ahora la traza se realiza en el espacio de Hilbert de una sola partícula.

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En el siguiente,$i,j$denotan elementos de la base en los que el hamiltoniano de una sola partícula es diagonal.

Para un sistema de fermiones no interactuantes y en equilibrio en el gran conjunto canónico, se sigue que

$$\gamma_{ij} = \delta_{ij} \,\langle n_i \rangle_\rho \quad .$$ Esto puede derivarse, por ejemplo, aplicando el teorema de Wick. Aquí, $$\langle n_i \rangle_\rho = \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/{k_{\mathrm{B}}T}}+1}$$ es la expresión bien conocida para el número de ocupación promedio del estado de una sola partícula$i$.

Finalmente, esto demuestra que efectivamente

$$\langle O \rangle_\rho = \sum\limits_i \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/{k_{\mathrm{B}}T}}+1}\, \langle i|o|i\rangle \quad \quad ,$$ para un sistema de fermiones que no interactúan en gran equilibrio canónico.

Como último punto, tenga en cuenta que se cumple un resultado análogo para el caso de bosones idénticos que no interactúan.

Entonces creo que también se puede derivar usando la primera cuantificación de la siguiente manera:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \langle \Psi_j|\hat \rho \hat O |\Psi_j\rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \langle \hat \rho \Psi_j|\hat O |\Psi_j\rangle =\sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \langle \Psi_j| \hat O |\Psi_j\rangle$$

Dónde$\tilde \rho_j$es el valor propio de$\hat \rho$asociado con el estado j.

suponiendo que$\hat O$se puede escribir como la suma de operadores de un cuerpo:

$$\hat O = \sum_k \hat o_k$$

Donde k es el índice de la partícula k. Ahora se puede escribir:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \langle \Psi_j| \sum_k \hat o_k |\Psi_j\rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \sum_i n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Donde he usado el hecho de que el valor esperado del operador de un solo cuerpo$\hat o_k$actuando sobre la función de onda multicuerpo$\Psi_j$es:

$$\langle \Psi_j | \hat o_k | \Psi_j \rangle = \sum_i n_i \frac{(N-1)!}{N!} \langle\psi_i|\hat o |\psi_i \rangle$$

Donde i suma todos los estados propios de un solo cuerpo presentes en$\Psi_j$, el$N!$en el denominador proviene del hecho de que$\Psi_j$está representado por un determinante de Slater de estados propios de un solo cuerpo. El$(N-1)!$en el numerador representa el hecho de que cada partícula índice se repite$N!/N$veces. Finalmente,$n_i$representa el número de veces que se repite el estado propio i.

Así, cuando esta suma se realiza N veces, los factoriales se eliminan.

Volviendo a$\langle \hat O \rangle$, uno tiene:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j \sum_i n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle = \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \sum_i \tilde \rho_j n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle = \sum_{i} \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j n_i\langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Lo cual se puede lograr volviendo a indexar la suma apropiadamente (¿creo?).

Continuo:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_i \left( \sum_{\left\{ n \right\}_j \in N^{\infty}} \tilde \rho_j n_i \right) \langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle = \sum_i \langle n_i \rangle \langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Usando el hecho de que:

$$\langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)} \pm 1} = f_i$$

Uno tiene:

$$\langle \hat O \rangle = \sum_i f_i \langle \psi_i| \hat o |\psi_i\rangle$$

Como originalmente se deseaba.