Solución de dinámica de matriz de densidad

Como señala Lelesquiz, me parece una ecuación diferencial matricial algo estándar. El enlace de Wikipedia brinda un método de solución para la matriz, pero creo que podría ser más fácil reasignar un poco:

$$\begin{align} \rho_{00}&\to v_1\\ \rho_{01}&\to v_2\\ \rho_{10}&\to v_3\\ \rho_{11}&\to v_4 \end{align}$$ y escríbalo como (asumiendo que lo que escribió es correcto y que hice el mapeo correcto, debe verificar esto dos veces) $$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda i(v_3-v_2)+\lambda^2v_1 \\ \lambda i(v_4-v_1)+\lambda^2v_2 \\ \lambda i(v_1-v_4)+\lambda^2 v_3 \\ \lambda i(v_2-v_3)+\lambda^2v_4\end{array}\right)$$ lo que deja más claro que esto se puede resolver numéricamente con métodos de Runge-Kutta porque es un vector simple con componentes acopladas. Es posible que desee tener en cuenta que, dado el término complejo, la estabilidad será un problema.