Cálculo de la probabilidad de medir un átomo de hidrógeno en los estados dados

Actualmente estoy inscrito en un curso de mecánica estadística y estoy un poco atascado sobre cómo calcular las probabilidades de un átomo de hidrógeno en un estado determinado. Publicaré la pregunta exacta en la que estoy trabajando y mi trabajo hasta ese momento, y anotaré exactamente dónde estoy confundido. Cualquier ayuda de allí sería apreciada.

Veamos una matriz de densidad para un sistema cuántico que está bien descrito por una base con tres estados. Un ejemplo es el electrón de un átomo de hidrógeno que se prepara con spin up y en una combinación lineal de los tres 2 pag estados Dos bases estándar para el átomo de hidrógeno son los estados cartesianos dados por | 2 pag X ⟩ , | 2 pag y ⟩ , | 2 pag z ⟩ , y lo bueno L z estados de momento angular, | 2 pag + 1 ⟩ , | 2 pag 0 ⟩ , | 2 pag − 1 ⟩ . Están relacionados por una transformación unitaria:

| 2 pag ± 1 ⟩ = ∓ 1 2 [ | 2 pag X ⟩ ± | 2 pag y ⟩ ] | 2 pag 0 ⟩ = | 2 pag z ⟩
Puedes preparar un haz de átomos de hidrógeno para que con probabilidad 1 / 4 se prepara un átomo en el | 2 pag X ⟩ estado, con probabilidad 1 / 4 se prepara en el | 2 pag y ⟩ estado, con probabilidad 1 / 4 se prepara en el | 2 pag z ⟩ estado, y con probabilidad 1 / 4 se prepara en el | 2 pag + 1 ⟩ estado.

Estoy atascado en la parte (c), que es:

Calcula la probabilidad de medir un átomo de hidrógeno en los siguientes estados. | 2 pag X ⟩ , | 2 pag y ⟩ , | 2 pag z ⟩ , | 2 pag + 1 ⟩ , | 2 pag 0 ⟩ , | 2 pag − 1 ⟩ .

He encontrado que mi operador de densidad es:

ρ = 1 4 | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | + 1 4 | 2 pag y ⟩ ⟨ 2 pag y | + 1 4 | 2 pag z ⟩ ⟨ 2 pag z | + 1 4 | 2 pag + 1 ⟩ ⟨ 2 pag + 1 |

He leído que la probabilidad de medir una partícula en un estado específico viene dada por Tr [ PAG ρ ] , dónde PAG es el operador de proyección. Después de esto, intenté calcular la probabilidad de encontrar el átomo de hidrógeno en el | 2 pag X ⟩ estado. A partir de aquí, pag denotará probabilidad.

pag | 2 pag X ⟩ = Tr ( | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | ρ ) = Tr ( | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | [ 1 4 | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | + 1 4 | 2 pag y ⟩ ⟨ 2 pag y | + 1 4 | 2 pag z ⟩ ⟨ 2 pag z | + 1 4 | 2 pag + 1 ⟩ ⟨ 2 pag + 1 | ] ) = Tr ( [ 1 4 − 1 4 2 ] | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | )

No sé cómo evaluar el rastro desde aquí. Entiendo que la traza es simplemente la suma de los elementos diagonales de una matriz, pero no veo cómo se aplica eso aquí. Quiero decir que la solución es 1 4 − 1 4 2 desde Tr ( | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | ) = 1 por completo, pero no confío en esa respuesta.

Cualquier orientación sería apreciada, gracias.

Suponiendo que todo lo demás que hizo es correcto, entonces sí, puede sacar el factor constante de Tr para que la solución sea ese factor. Consulte las propiedades de Trace, en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)#Properties
@N.Steinle, ¿pero estoy en lo correcto al evaluar Tr ( | 2 pag X ⟩ ⟨ 2 pag X | ) ?
la probabilidad es < 2 pag X | ρ | 2 pag X >
@RogerJBarlow Entonces, ¿no necesito usar el rastro aquí?
La traza debería producir lo mismo, pero ha calculado mal la tercera línea de la segunda línea. Hazlo bien.
@CosmasZachos Me di cuenta de que al rehacer el cálculo antes de entregar mi tarea, simplemente olvidé cambiarlo aquí. Gracias por notar el error, sin embargo. Lo cambiaré cuando tenga un momento libre.

Respuestas (2)

Para resumir, el rastro de X es:

∑ k < pag k | X | pag k >
Como dijiste, la traza es la suma sobre el elemento diagonal y el elemento de una matriz en QM son A i j =< pag i | A | pag j > .

La respuesta de Ismasou fue votada a favor bastante estándar, pero solo para evitar confusiones, puede eliminar todas esas notaciones elegantes y simplemente tratarlas en un estado de momento angular simple con L = 1 y yo = 1 , 0 , − 1 . Es comúnmente conocida como matriz y la mayoría de las veces se enseñó cuando el profesor presentó el experimento Stern-Gerlach. ( https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node247.html ) (Técnicamente, uno era giratorio, el otro era orbital, pero realmente no tienen mucha diferencia en términos de momento angular generalizado). Luego google Traza del operador de densidad, la respuesta debería ser obvia.

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