¿Cuál es la matriz de densidad reducida que es |0⟩|0⟩|0\rangle o |1⟩|1⟩|1\rangle con probabilidades 1/21/21/2?

El error es considerar amplitudes de probabilidad y estados de superposición en lugar de probabilidades y estados mixtos. En general, es incorrecto decir que un estado de la forma

$$\begin{equation} |\psi\rangle=\sqrt{p_0}|\psi_0\rangle+\sqrt{p_1}|\psi_1\rangle \end{equation}$$ tiene una probabilidad$p_0$de ser encontrado en estado$|\psi_0\rangle$y probabilidad$p_0$de ser encontrado en estado$|\psi_1\rangle$. El único momento en que se puede hacer una afirmación tan definitiva es cuando los dos estados del lado derecho son ortogonales; es decir,$\langle \psi_1| \psi_0\rangle=0$. De hecho, cuando no se cumple la condición de ortogonalidad, el estado$|\psi\rangle$escrito aquí no está normalizado para$p_0+p_1=1$.

Lo correcto es expresar nuestra matriz de densidad como un conjunto de estados puros. Esto significa que anotamos las matrices de densidad que hubiéramos obtenido de cada uno de los estados puros y las sumamos con los pesos correspondientes a sus probabilidades. Entonces, en este caso, escribiríamos

$$\rho=p_0 |0\rangle\langle 0|+p_1 |-\rangle\langle -|=\frac{1}{2} |0\rangle\langle 0|+\frac{1}{2} |-\rangle\langle -|.$$ Este tipo de "combinación convexa" podría extenderse a cualquier número de estados y cualquier conjunto de probabilidades para los estados, incluida una distribución de probabilidad continua para un conjunto continuo de estados puros (pero eso es irrelevante aquí). Si haces esto con los estados que has calculado, ¡obtendrás una de las respuestas de tu imagen! Pero te advierto que mires el signo menos en la definición del estado.$|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$porque cambiará el resultado a otra respuesta de tu imagen.

Finalmente, si tomamos una matriz de densidad general$\rho$, la probabilidad de que se mida para estar en el estado$|\phi\rangle$es dado por

$$\begin{equation}\mathrm{Tr}\left(|\phi\rangle\langle\phi|\rho\right)=\langle\phi|\rho|\phi\rangle. \end{equation}$$ No puede usar este método directamente para verificar que ha obtenido la solución correcta porque, incluso si el estado está preparado en$|\psi_0\rangle$, todavía hay alguna probabilidad distinta de cero de que se medirá en cualquier otro estado$|\phi\rangle$con$\langle\phi|\psi_0\rangle\neq 0$.

Una razón fundamental para introducir la matriz de densidad es describir sistemas que son "mezclas" clásicas de estados, donde cada estado está asociado con una probabilidad "clásica". Tal "mezcla" es fundamentalmente diferente de un estado de superposición. Los estados de superposición no corresponden a un sistema clásico en el que tiene una probabilidad de encontrar el sistema en el estado$|n\rangle$con probabilidad$p_n$.

Esto se ilustra fácilmente cuando observamos el valor esperado dependiente del tiempo de un operador de una superposición de estados propios de energía. Un estado de superposición es por ejemplo

$$|\psi\rangle = c_a|a\rangle +c_b|b\rangle$$ El estado dependiente del tiempo sería $$|\psi(t)\rangle = c_ae^{-iE_at/\hbar }|a\rangle + c_b e^{-iE_bt/\hbar }|b\rangle$$ Ahora echemos un vistazo al valor esperado de un operador hermitiano arbitrario$\hat O$ $$\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle &=\left( c_a^*e^{iE_at/\hbar }\langle a| + c_b^* e^{iE_bt/\hbar }\langle b|\right)|\hat O| \left( c_ae^{-iE_at/\hbar }|a\rangle + c_b e^{-iE_bt/\hbar }|b\rangle \right)\\ \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle &= |c_a|^2\langle a|\hat O|a \rangle + |b|^2\langle b|\hat O|b\rangle + 2\Re\left(c_a^*c_be^{i(E_a-E_b)t\hbar}\langle a|\hat O|b\rangle \right) \end{aligned}$$ Si asumimos por simplicidad que$c_a,c_b,\langle a|\hat O|b\rangle \in \Re$y definir$\omega_{ab}=(E_a- E_b)/\hbar$podemos simplificar a $$\langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle = |c_a|^2\langle a|\hat O|a \rangle + |b|^2\langle b|\hat O|b\rangle + 2c_ac_b \cos(\omega_{ab} t) \langle a|\hat O|b\rangle$$

Este resultado para un valor esperado dependiente del tiempo de una superposición se parece un poco a la suma del valor esperado asociado con el estado a$\langle a| \hat O|a\rangle\equiv O_a$ponderado con probabilidad$p_a \equiv |c_a|^2$más el valor esperado del estado b$O_b$ponderado con$p_b$si no fuera por el factor oscilante dependiente del tiempo$2c_ac_b \cos(\omega_{ab} t) \langle a|\hat O|b\rangle$eso hace que el valor esperado oscile y varíe con el tiempo. Esto es contrario a un sistema clásico en el que tienes probabilidades fijas de$p_a$y$p_b$. Con probabilidades "clásicas", no esperaría ninguna oscilación con el tiempo del valor esperado y más bien asumiría que el valor esperado es simplemente la suma ponderada de los valores esperados$\text{"classical sum"} = |c_a|^2O_a + |c_b|^2O_b$.

Lo que nos lleva al punto importante, a saber, que es imposible describir tal sistema con un solo estado, también llamado estado puro,

$$\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle &\not = |c_a|^2O_a + |c_b|^2O_b\\ & \not= p_a O_a + p_b O_b\\ \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle &\not= |c_a|^2\langle a|\hat O|a\rangle + |c_b|^2\langle b|\hat O|b\rangle \end{aligned}$$ lo que produce un valor esperado que parece estar formado por una suma "clásica" de estados ponderados de probabilidad.

Para describir sistemas que son simples sumas de probabilidades clásicas, necesitamos el formalismo de matrices/operadores de densidad. Solo dentro de este formalismo podemos modelar sistemas cuánticos que son sumas ponderadas de probabilidad "clásicas".

El problema con su ansatz es que ha construido solo estados de superposición y no ha utilizado la propiedad de las matrices de densidad para describir las probabilidades "clásicas".

El formalismo de la matriz de densidad nos permite construir sumas ponderadas de probabilidad como esta

$$\hat \rho = \sum p_n |n\rangle \langle n|$$

Esto nos permite construir una matriz de densidad en base a dos estados como este,

$$\rho_{\text{classical}} = \left( \begin{matrix}|c_a|^2 & 0\\ 0 & |c_b|^2 \end{matrix}\right)$$

mientras que un solo estado de superposición siempre conducirá a una matriz de la forma

$$\rho_{\text{pure state}} = \left( \begin{matrix}|c_a|^2 & c_ac_b^*\\ c_a^*c_b & |c_b|^2 \end{matrix}\right)$$

Espero que esto lo ayude a comprender la pregunta, que es trivial de responder si obtiene los conceptos básicos y el "por qué" del formalismo de matriz de densidad/operador.