¿Por qué el modelo cuántico de Heisenberg se convierte en el modelo clásico cuando S→∞S→∞S\to\infty?

Question

¿Por qué el modelo cuántico de Heisenberg se convierte en el modelo clásico cuando S→∞S→∞S\to\infty?

Anónimo

El hamiltoniano del giro $S$ modelo cuántico de Heisenberg es

H = j \sum_{< i, j >} S_{i} \cdot S_{j}

$H = J\sum_{<i,j>}\mathbf{S}_{i}\cdot\mathbf{S}_{j}$ He leído que cuando el número cuántico de espín

S \to \infty

$S\to\infty$ , la fluctuación cuántica se desvanece, y entonces el modelo es idéntico al modelo clásico de Heisenberg donde los espines se tratan de forma clásica, no mecánicamente cuántica.

Pero no puedo entenderlo claramente. ¿Hay alguna relación con el principio de correspondencia de Bohr ?

Dan

Es posible que desee ampliar esto. Explique un poco el contexto, como la definición de

S

$S$ .

Respuestas (2)

¿Por qué el modelo cuántico de Heisenberg se convierte en el modelo clásico cuando S→∞S→∞S\to\infty?

Es posible que desee ampliar esto. Explique un poco el contexto, como la definición de $S$ .

Webb · Answer 1

Webb

Si está hablando del propagador como la acción, donde una probabilidad es proporcional a

$P \sim e^{i S/\hbar}$

dónde $S$ es la acción lagrangiana, entonces el límite asintótico real es aquel donde $S \gg \hbar$ . En ese caso, los físicos mueven los dedos y cantan "aproximación de fase estacionaria" y se obtiene que el camino más probable es el que minimiza $S$ , que es un enunciado del principio de acción mínima de Lagrangiano.

Webb

Ah, sí, por lo que veo. La interacción clásica de dos dipolos es el producto escalar de sus momentos dipolares, que son variables libres y continuas. En una interacción dipolo mecánica cuántica, por lo general son los espines/los momentos angulares los que interactúan y solo se les permite tener

n

$n$ autoestados. Esa sería la gran diferencia. Como

n

$n$ tiende al infinito pero

| \vec{S} | = 1

$|\vec{S}| = 1$ es fijo, te acercas a un continuo de configuraciones, que es la interacción clásica de dos dipolos de separación fija.

Webb

Se puede pensar que el principio de correspondencia de Bohr hace que la densidad de estados disponibles se acerque a un continuo, por lo que lo que dije antes es el principio de correspondencia. Definir

S = ⟨ S ⟩ + \hat{δ S}

$\mathbf{S} = \langle \mathbf{S} \rangle + \hat{\delta \mathbf{S}}$ y considere una combinación de vectores propios

| σ ⟩ = \sum_{n} a_{n} | S_{n} ⟩

$|\sigma \rangle = \sum_n a_n|\mathbf{S}_n \rangle$ tal que

⟨ σ | S | σ ⟩ = ⟨ S ⟩

$\langle \sigma |\mathbf{S} | \sigma \rangle = \langle \mathbf{S} \rangle$ . ¿Qué sucede si aplica la restricción que impone el promedio sobre el

a_{n}

$a_n$ cuando calculas

⟨ S^{2} ⟩ - ⟨ S ⟩^{2}

$\langle \mathbf{S}^2 \rangle - \langle \mathbf{S} \rangle^2$ ?

Webb

Una mejor respuesta puede ser mirar la dinámica directamente, digamos dos giros para que el problema sea agradable y manejable. Lo que verá es que las ecuaciones de movimiento de los elementos de la matriz tienden a las ecuaciones clásicas de movimiento como

Δ θ \to 0

$\Delta \theta \rightarrow 0$ dónde

Δ θ

$\Delta \theta$ es el ángulo entre los vectores de espín "vecinos" disponibles en el sistema cuántico.

wsc · Answer 2

Hay una serie de formas relacionadas de pensar acerca de esto. La respuesta de webb se puede poner en un terreno un poco más explícito. En la integral de trayectoria de "estados coherentes de espín" para el modelo cuántico de Heisenberg, las soluciones del modelo clásico de Heisenberg son extremos (o puntos de silla).

También podría, de manera más prosaica, realizar una transformación de Holstein-Primakoff para convertir los espines en bosones y generar sistemáticamente fluctuaciones cuánticas alrededor de la solución clásica como una serie en $1/S$ (donde vemos que como $S\rightarrow\infty$ las fluctuaciones deben desaparecer).

También podríamos pensar en el propio hamiltoniano, que recordará que se puede escribir de forma que actúe de forma natural sobre el $S^z$ base como

H_{H mi i s mi norte b mi r gramo} \sim \sum_{< i j >} \frac{1}{2} (S_{i}^{+} S_{j}^{-} + S_{i}^{-} S_{j}^{+}) + S_{i}^{z} S_{j}^{z}

$H_{\rm Heisenberg} \sim \sum_{<ij>} \frac{1}{2}(S_i^+S_j^- + S_i^- S_j^+) + S_i^z S_j^z$ (Por supuesto, esto rompe la simetría rotacional. ¡También lo hace la solución clásica! Podemos señalar

z

$z$ en cualquier lugar que nos guste acomodarlo.) Esta es solo otra forma de establecer el resultado de HP, pero si

S

$S$ es grande entonces

S^{z}

$S^z$ puede tener grandes valores propios en cada sitio, y subir/bajar el

z

$z$ -la proyección de un giro por "1" apenas tiene ninguna consecuencia en comparación con su valor muy grande.

¿Por qué el modelo cuántico de Heisenberg se convierte en el modelo clásico cuando S→∞S→∞S\to\infty?

Anónimo

Dan

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wsc

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