¿Derivación de la distribución de Fermi-Dirac?

La derivación de la distribución de Fermi-Dirac utilizando el formalismo de matriz de densidad procede de la siguiente manera:

La puesta en marcha.

Suponemos que el hamiltoniano de una sola partícula tiene un espectro discreto, por lo que los estados propios de energía de una sola partícula están etiquetados por un índice$i$que se ejecuta sobre un conjunto de índices finitos o contablemente infinitos$I$. Una base para el espacio de Hilbert del sistema es la base del número de ocupación

$$\begin{align} |\mathbf n\rangle = |n_0, n_1, \dots\rangle \end{align}$$ dónde $n_i$denota el número de partículas que ocupan el estado propio de energía de una sola partícula $i$. Para un sistema de fermiones idénticos que no interactúan, el conjunto $\mathscr N_-$de secuencias de ocupación admisibles $\mathbf n$consta de esas secuencias con cada $n_i$igual a cualquiera $0$o $1$. Dejar $H$sea ​​el hamiltoniano para tal sistema, y ​​sea $N$sea ​​el operador numérico, entonces tenemos $$\begin{align} H|\mathbf n\rangle = \left(\sum_{i\in I}n_i\epsilon_i\right)|\mathbf n\rangle, \qquad N|\mathbf n\rangle = \left(\sum_{i\in I} n_i\right) |\mathbf n\rangle \end{align}$$ dónde $\epsilon_i$es la energía del estado propio $i$. También podemos definir un observable $N_i$que nos dice el número de ocupación de la $i^\mathrm{th}$estado de energía de una sola partícula; $$\begin{align} N_i|\mathbf n\rangle = n_i|\mathbf n\rangle \end{align}$$

Tenga en cuenta que estamos tratando de determinar el número de ocupación promedio conjunto de la$j^\mathrm{th}$estado propio de energía. En el formalismo de la matriz de densidad, esto viene dado por

$$\begin{align} \langle n_j\rangle =\mathrm{tr}(\rho N_i) \end{align}$$ dónde $$\begin{align} \rho = \frac{e^{-\beta(H-\mu N)}}{Z}, \qquad Z = \mathrm {tr}\big(e^{-\beta(H-\mu N)}\big) \end{align}$$

La prueba.

1. Muestra esa $$\begin{align} Z = \sum_{\mathbf n\in \mathscr N_-}\prod_{i\in I}x_i^{n_i} \end{align}$$ dónde$x_j = e^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}$, la suma es sobre sucesiones admisibles$\mathbf n$de números de ocupación de estados de energía de una sola partícula, y el producto es sobre índices$i$etiquetado de una base ortonormal de estados propios de energía de una sola partícula.
2. Demuestre que el número de ocupación promedio del conjunto de la$j^\mathrm{th}$El estado se puede calcular de la siguiente manera: $$\begin{align} \langle n_j\rangle = x_j\frac{\partial}{\partial x_j}\ln Z \end{align}$$
3. Demuestre que el producto y la suma en la función de partición se pueden "intercambiar" para dar $$\begin{align} Z = \prod_{i\in I}\sum_{n=0}^1 x_i^n \end{align}$$ donde el producto ahora es sobre estados propios de energía de una sola partícula, y la suma es sobre números de ocupación admisibles de un estado de una sola partícula.
4. Combine los resultados de los pasos 2 y 3 para demostrar que $$\begin{align} \langle n_j\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+1} \end{align}$$ cual es el resultado deseado.