Validez de las ecuaciones de Navier Stokes para flujos turbulentos

Como señalé en un comentario, se supone que un flujo real es continuo y continuo, y por lo tanto, en un sentido infinitesimal, no hay discontinuidades en un flujo turbulento. Nota: incluso los flujos con choques, en el sentido infinitesimal, son continuos ya que la viscosidad trabaja para suavizar la discontinuidad en escalas lo suficientemente pequeñas. Por lo tanto, las discontinuidades que señala se deben a la observación de los datos en momentos discretos. Los datos de simulaciones o experimentos siempre son discretos a alguna tasa de muestreo y, por lo tanto, pueden contener discontinuidades. Su nitidez depende de cuántas celdas (simulaciones) o puntos de muestreo (experimento) haya en relación con los números de onda/frecuencias más altos en el flujo.

Sin embargo, su punto sigue siendo válido: para simulaciones de flujos turbulentos, en mallas discretas, ¿no son inválidas las suposiciones en las aproximaciones de la serie de Taylor? y la respuesta es si, si su malla es demasiado gruesa! De hecho, si tiene un esquema numérico con muy poca disipación numérica y la cuadrícula es demasiado gruesa, obtendrá una acumulación de errores y eventualmente puede divergir precisamente porque se han violado los supuestos. Numéricamente, esto se puede tratar agregando viscosidad numérica, lo que ayudará a amortiguar la acumulación de errores de número de onda alto. Estos errores de número de onda alto se deben a que la aproximación de la serie de Taylor está truncada, debido a errores numéricos aleatorios debido a matemáticas de precisión finita y debido a errores dispersivos que ocurren cuando la malla es demasiado gruesa para resolver los gradientes con precisión.

Pero también tenga en cuenta que realizar la descomposición de Reynolds ayuda bastante, y ese es el beneficio inherente de hacerlo en las ecuaciones. Si haces la descomposición y solo retienes las ecuaciones para la media$\langle U \rangle$, entonces el flujo es muy suave, ¡no hay fluctuaciones en absoluto! Esto le permite salirse con la suya con una malla mucho más gruesa sin incurrir en inestabilidades numéricas, aunque la precisión aún puede verse afectada. Pero, esto significa que necesita modelar todos los efectos de$u^\prime$en el flujo medio, por lo que su precisión general depende en gran medida de la calidad de su modelo. Esto generalmente se llama Reynolds Averaged Navier Stokes, o RANS.

Por otro lado, puede aplicar un tipo diferente de filtro en el espacio, de modo que su filtro se encuentre en algún lugar del rango de inercia, pero no en el número de onda/frecuencia media. Esta es una simulación de grandes remolinos, o LES. Aquí, necesita más puntos de cuadrícula porque necesita resolver más números de onda con precisión. Pero no necesita resolver todos los números de onda porque todavía modela algunos de ellos. Hay muchos menos números de onda modelados, por lo que el modelo no tiene tanto impacto en la solución como en el caso de RANS. Además, dado que el modelo solo incluye partes del flujo en el rango de inercia, el modelo debería ser universal (si Kolmogorov tenía razón).

Entonces, las ecuaciones mismas son absolutamente válidas para flujos turbulentos, porque las ecuaciones mismas son continuas. Pero, al simular los flujos o mirar datos experimentales, todo es discreto. Y cuando es discreto, pueden presentarse problemas numéricos para variables que cambian rápidamente si la discretización no es lo suficientemente fina para capturar los cambios. Descomponer las ecuaciones en partes rápidas y lentas puede relajar esos requisitos de discretización (para cualquier definición de rápido y lento que desee elegir).

Bueno, ya tienes la respuesta correcta. Me gustaría hacer algunas adiciones. Un material realmente importante que puse al final.

Su observación de que las gráficas de fluctuaciones turbulentas parecen funciones no diferenciales puede verse como una especie de justificación para el modelado de turbulencia estocástica. Esos métodos dan variables turbulentas como funciones verdaderamente no diferenciales.

Considere una partícula fluida (es decir, el punto de vista lagrangiano) y la fuerza que actúa sobre ella (ecuaciones de Navier-Stokes en forma lagrangiana):

$$\frac{dU_i}{dt} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial u_i}{\partial x_k \partial x_k}.$$ Aquí $U_i$es la velocidad de la partícula, $p$y $u_i$son los campos de presión y velocidad en la posición de la partícula. Uso letras mayúsculas para variables lagrangianas y minúsculas para campos eulerianos. El flujo es incompresible.

A continuación, como de costumbre, aplica la descomposición de Reynolds y descompone la fuerza que actúa sobre la partícula de fluido en una media$\langle{\cdot}\rangle$y fluctuante${\cdot}'$partes:

$$\frac{dU_i}{dt} = \underbrace{\biggl<- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial u_i}{\partial x_k \partial x_k} \biggr>}_{\text{Mean, known force}} + \underbrace{\biggl[- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial u_i}{\partial x_k \partial x_k} \biggr]'}_{\text{Random, unknown force}}.$$ Ahora propones un modelo matemático simple para esa fuerza aleatoria fluctuante desconocida. Por lo general, implica un proceso estocástico estándar, llamado proceso de Wiener . El proceso de Wiener es probablemente el modelo matemático más simple para una fuerza aleatoria, pero tiene un inconveniente. La velocidad resultante de la partícula es una función continua, pero genuinamente no diferencial en el tiempo, puede apreciar las gráficas en el artículo de Wikipedia citado para el proceso de Wiener, por ejemplo:

Entonces, para resumir, existen técnicas de modelado que tratan las variables turbulentas como funciones no diferenciables (en el tiempo o en el espacio). Implican ecuaciones diferenciales estocásticas. Para obtener más información sobre estos métodos, lo remito al capítulo 12 de Flujos turbulentos de Pope.

Más importante: ¿cuándo puede tratar la velocidad turbulenta como una función no diferenciable?

Aquí me gustaría discutir cuándo se puede tratar la velocidad turbulenta fluctuante como una función no diferencial en el tiempo o el espacio.

En escalas más grandes, la velocidad parece puntiaguda, no diferenciable, como en la gráfica que ha proporcionado. Pero si lo amplía (es decir, aumenta la frecuencia de su muestreo experimental), llegará a escalas viscosas, donde la viscosidad suaviza todos los picos. Así que definitivamente en las escalas de Kolmogorov todas las variables son funciones agradables y suaves de tiempo y espacio.

Sin embargo, la escala de umbral en la que la velocidad comienza a parecer suave se encuentra en escalas más grandes, es decir, aproximadamente en la microescala de Taylor. En esta escala, los mecanismos viscosos y no viscosos son comparables (en las escalas de Kolmogorov, la viscosidad es dominante). Para obtener más información, eche un vistazo a La longitud de coherencia de Markov-Einstein: un nuevo significado para la longitud de Taylor en turbulencia por St. Lück, cap. Renner, J. Peinke, R. Friedrich.

Cuando hablo de mirar no diferencial, me refiero a "mirar como un proceso de Wiener", es decir, los métodos de modelado de los que estaba hablando en la primera parte de esta respuesta. La microescala de Taylor define el límite fundamental de aplicabilidad de este tipo de modelos.

"Por supuesto, mi argumento debe ser erróneo ya que estas ecuaciones se han estudiado ampliamente durante décadas y ya se sabría si son incorrectas para la turbulencia".

Creo que no es una muy buena forma de verlo.

Son adecuados para la turbulencia bajo varias suposiciones sobre el fluido y el flujo que ya han dado otros, y si desea como máximo algunas cifras significativas en su respuesta.

Son inadecuados si se desea una precisión muy alta, por la sencilla razón de que la turbulencia aún se comprende de manera imperfecta y, en muchos casos, los experimentos no se pueden realizar con una precisión muy alta. (Solo mire lo difícil que es predecir la transición de la capa límite en placas curvas simples y suaves).

Lo que es adecuado para los ingenieros que trabajan en un campo en particular no siempre es aceptable para otros científicos que persiguen objetivos diferentes.