¿Ocurrencia de turbulencia en la dinámica de fluidos a partir de las ecuaciones de movimiento?

Hay un argumento general simple de por qué se obtiene un movimiento a pequeña escala a partir de un movimiento a gran escala en cualquier sistema mecánico continuo no integrable no lineal, ya sean fluidos u ondas electromagnéticas que interactúan con plasmas cargados, u ondas superficiales en el agua, o cualquier cosa no lineal en todos. Este argumento debe fallar para aquellos casos especiales en los que no se produce la turbulencia habitual, como los fluidos 2D.

La razón es la catástrofe ultravioleta --- la idea de que para llegar al equilibrio térmico, todos los modos deben tener la misma cantidad de energía. Cualquier sistema mecánico solo está en equilibrio estadístico cuando todos sus modos tienen aproximadamente la misma cantidad de energía. Por lo tanto, este equilibrio de Boltzmann es inalcanzable para movimientos suaves de campos continuos, porque requiere que se divida una energía finita entre infinitos modos, la mayoría de los cuales involucran longitudes de onda muy cortas.

El equilibrio estadístico de energía finita para cualquier campo continuo es entonces un estado de temperatura cero donde todos los modos contienen una cantidad infinitesimal de energía, que es la partición de la energía inicial. La cascada de energía es el método por el cual un fluido intenta hacer la partición, enviando energía hacia abajo en modos de longitud de onda corta de forma aleatoria, para acercarse al estado de equilibrio estadístico. Dado que esto es imposible, solo obtiene un drenaje continuo de energía del movimiento de longitud de onda larga al movimiento de longitud de onda corta, y cuando este proceso de drenaje alcanza un estado estable invariable en escala, llamamos a la situación turbulencia homogénea isotrópica.

Siempre hay amortiguamiento en un sistema físico, y el amortiguamiento drena energía en movimiento molecular en un solo paso, no por una cascada no lineal, sino simplemente convirtiendo termodinámicamente la energía en calor. Este proceso de un solo paso solo es relevante en fluidos en longitudes de onda cortas, porque va como el gradiente de la velocidad. Una velocidad uniforme transporta energía, pero por invariancia galileana, no tiene amortiguamiento disipativo.

Debido a la invariancia galileana, en los fluidos existe una separación arbitrariamente grande de escalas entre las escalas de distancia donde la no linealidad es importante y las escalas mucho más pequeñas donde el amortiguamiento es importante. En el medio, se obtiene una mezcla no lineal regular que drena la energía de los modos de longitud de onda larga a los modos de longitud de onda corta, sin una amortiguación significativa y de forma estadísticamente aleatoria, porque cualquier pequeña perturbación en los modos de longitud de onda larga producirá modos de longitud de onda corta completamente diferentes. porque el proceso se está extendiendo en el espacio de fase mucho más grande de los modos de longitud de onda corta, de una manera inestable y caótica.

Una dimensión

Este argumento solo falla en ciertos casos especiales. Falla genéricamente en 1+1 dimensiones, cuando el espacio es una línea, porque en una línea solo hay dos modos en cualquier número de onda k. Todavía tiene un estado de Boltzmann inaccesible, porque hay infinitos k, pero no hay crecimiento en el número de modos con k, como lo hay en 2D y superior. Por lo tanto, es probable que la energía se mueva hacia una k más pequeña que hacia una k más grande, y si tiene turbulencia, se parece más a la difusión de energía, donde la energía camina aleatoriamente de una k más pequeña a una más grande, sin ninguna razón particular para llegar a una k más grande, excepto si al azar llega allí.

Esto significa que puede tener fácilmente energía en un cierto número de modos k vinculados en un movimiento cerrado, y esto se refleja en el hecho de que la termalización en sistemas 1D homogéneos con interacciones locales no lineales es difícil. Te encuentras con muchas soluciones de solitones y otros estados especiales, donde la energía simplemente se niega a ser aleatoria, pero se comparte de forma no lineal de una manera no térmica entre un montón de modos de bajo k. Esto fue descubierto por Fermi Pasta y Ulam, cuando intentaron simular el enfoque del equilibrio estadístico en un sistema 1d usando una computadora antigua. En lugar de termalización, descubrieron que su modelo nunca alcanzaba el equilibrio, y esta fue una de las principales motivaciones para el estudio de sistemas integrables unidimensionales.

Pero los sistemas 1d, tan interesantes como son, son raros. Este tipo de tonterías no sucede a menudo en 2d y superior, porque hay muchos más modos en k alta. El número de modos crece a medida que$k^{d-1}$.

Cantidades extra conservadas

Sin embargo, todavía no existe una cascada descendente para el caso especial de turbulencia de fluidos 2d. La razón es que hay una segunda cantidad conservada integral continua en este caso especial, la entropía, que es el cuadrado del rotacional de la 2d velocidad.

Esta cantidad tiene más derivadas que la energía, que es sólo$E=\int |v|^2$. Las leyes de conservación exigen que el total$v_k$ y el total$k^2 |v_k|^2$ambos se conservan, y si solo tratas de equipartición de energía de manera ingenua, aumentarás la enstrofia en una cantidad enorme, porque la enstrofia de un movimiento de alta k es mucho mayor. Entonces no puedes equipartición de energía, tienes que equipartición de energía y entropía juntas.

La ley de partición de la entropía requiere paradójicamente que la energía en los modos cortos sea pequeña. La equipartición de entropía es la dinámica importante, y la energía termina cayendo en cascada de manera incorrecta, desde modos de longitud de onda corta a longitud de onda larga, de modo que los fluidos 2d en una caja periódica caerán en cascada hasta un solo flujo de dos grandes vórtices contrarrotatorios.

El fenómeno de la cascada inversa se descubrió en la década de 1960 y se atribuye con mayor frecuencia a Kraichnan. Pero varias personas notaron que la cascada de entrofia arruinaría las ideas tradicionales de por qué ocurre la turbulencia.

Sistemas genéricos no lineales

Las PDEs genéricas todas tienen turbulencia, cuando tienen un régimen libre de disipación, en un régimen donde la no linealidad es importante, pero no el amortiguamiento. Esto se estudia hoy en modelos de precalentamiento, en cosmología inflacionaria, y se estudia dentro de las matemáticas aquí y allá.

El número de sistemas de ejemplo es demasiado grande para enumerarlos, consiste en cualquier ecuación no lineal no integrable sin cantidades extra conservadas. La teoría del campo escalar invariante de escala es un ejemplo simple, el relevante para el precalentamiento:

Con la elección adecuada de los coeficientes$\lambda$. También puede agregar escalas de masa, agregando un término lineal en$\phi_k$, o términos cuadráticos adicionales que también vienen con una escala explícita. En general, uno está interesado en la cascada a escalas más pequeñas que las definidas por los términos de orden bajo, de modo que la no linealidad cúbica invariante de escala es lo único importante.

También debe agregar una amortiguación, para dar un corte de distancia corta análogo a la viscosidad en turbulencia, y puede hacerlo agregando un$\partial_t \nabla^2\phi$término con el coeficiente apropiado, por ejemplo. No hice eso, porque en una simulación numérica, puedes simplemente amortiguar poniendo a cero artificialmente modos k muy pequeños sin un término local explícito para hacer esto por ti.

Estrictamente hablando, la turbulencia no existe en dos dimensiones. La cascada de energía requerida para que se desarrolle la turbulencia (transferir energía de escalas grandes a escalas pequeñas) se debe a la ecuación de vorticidad (incompresible para ilustración):

$\frac{D\vec{\omega}}{Dt} = \left(\vec{\omega}\cdot\nabla\right)\vec{v} + \nu\nabla^2\vec{\omega}$

específicamente el término de estiramiento de vórtice :

$\left(\vec{\omega}\cdot\nabla\right)\vec{v}$

Este término no existe en el flujo bidimensional porque$\vec{\omega} = \omega\hat{k}$y$\nabla = \partial/\partial x + \partial/\partial y$resultando en un producto punto cero.

Este término extenso se conceptualiza fácilmente imaginando a un patinador sobre hielo girando. A medida que el patinador tira de sus brazos, la velocidad de rotación aumenta. Asimismo, a medida que se alarga un tubo de vórtice, aumenta la vorticidad. Es este estiramiento de los tubos de vórtice y la correspondiente disminución en el radio del vórtice y el aumento en la velocidad de rotación lo que hace que la turbulencia a gran escala caiga en cascada a escalas pequeñas donde se disipa por el otro término en la ecuación de transporte.

Para una buena explicación de la física subyacente de la turbulencia, lea Un primer curso de turbulencia . Brinda una muy buena comprensión de la dinámica compleja involucrada tanto en la generación de turbulencia a gran escala como en la causa de la cascada a escalas progresivamente más pequeñas.

Como sugerencia, los términos convectivos no lineales en las ecuaciones de Navier-Stokes son responsables de la generación de turbulencia. Es fácil deducir por qué este es el término responsable al pensar en el papel que juegan los otros términos en la ecuación al considerar las hipótesis de Kolmogorov.

Físicamente, no creo que "trayectoria en espiral hacia adentro" sea una buena definición de turbulencia. El movimiento fluido aleatorio, 3D y caótico sería mejor.

Numéricamente, esto significa que las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema numérico complejo que no acepta soluciones analíticas simples para valores grandes de los números de Reynolds. En su lugar, muestran un comportamiento caótico como la sensibilidad a las condiciones iniciales y una solución instantánea no determinista (es decir, es muy difícil saber el estado exacto del flujo en un punto e instante determinados). El atractor simplificado de Lorenz, vagamente relacionado con las ecuaciones NS, da un buen ejemplo de ese comportamiento. También muestra que la solución está acotada (la solución pertenece al atractor extraño de dimensión fractal entre 2 y 3 en un espacio de solución 3D) y que con el tiempo, tenemos una buena idea de dónde se encuentra. Lo análogo para las ecuaciones NS es que las estadísticas de turbulencia son "relativamente" fáciles de determinar. Tiempo extraordinario, podemos calcular el comportamiento promedio del flujo turbulento, sabemos que existen comportamientos universales localmente (busque la isotropía local y la similitud de escala), pero aún es muy difícil obtener una solución exacta para obtener las trayectorias de fluidos exactas que mencionó. Con suerte, esto le dio una perspectiva diferente a su pregunta que la excelente respuesta anterior.