Promedio de Reynolds Ecuaciones de Navier Stokes y escala de turbulencia

Question

Promedio de Reynolds Ecuaciones de Navier Stokes y escala de turbulencia

Física
turbulencia
navier-stokes
dinámica de fluidos

algo

Para obtener el promedio de tiempo de un término inestable como $\frac{\partial u_{i}}{\partial t}$ por definición realizamos lo siguiente:

\begin{aligned} \bar{\frac{\partial {tu}_{i}}{\partial t}} & = \frac{1}{T} \int_{t}^{t + T} \frac{\partial}{\partial t} ({tu}_{i} + {tu}_{i}^{'}) d t \\ = \frac{{tu}_{i} (X, t + T) - {tu}_{i} (X, t)}{T} + \frac{{tu}_{i}^{'} (X, t + T) - {tu}_{i}^{'} (X, t)}{T} \end{aligned}

$\begin{align} \overline{\frac{\partial u_{i}}{\partial t}} &= \frac{1}{T}\int_{t}^{t+T} \frac{\partial }{\partial t}(U_i + {u}'_i)\, dt \\ & = \frac{U_i(x,t + T) - U_i(x,t)}{T} + \frac{u'_i(x,t + T) - u'_i(x,t)}{T} \end{align}$

dónde $U_i$ es el valor medio de la velocidad en $x$ -dirección y $u'_i$ es la parte fluctuante.

Mi pregunta es por qué este término $\frac{u'_i(x,t + T) - u'_i(x,t)}{T}$ es igual a cero por lo que

\bar{\frac{\partial {tu}_{i}}{\partial t}} = \frac{{tu}_{i} (X, t + T) - {tu}_{i} (X, t)}{T} = \frac{\partial {tu}_{i}}{\partial t}

$\overline{\frac{\partial u_{i}}{\partial t}} = \frac{U_i(x,t + T) - U_i(x,t)}{T} = \frac{\partial U_{i}}{\partial t}$

De alguna manera la razón es porque $T$ enfoques efectivos $\infty$ en la escala de tiempo de las fluctuaciones turbulentas para que sea igual a cero, pero ¿por qué no es así para el primer término?

Yrogirg

Usaría el promedio de conjunto en lugar del promedio de tiempo para todos los propósitos, entonces esta relación es exacta.

Respuestas (2)

Promedio de Reynolds Ecuaciones de Navier Stokes y escala de turbulencia

Usaría el promedio de conjunto en lugar del promedio de tiempo para todos los propósitos, entonces esta relación es exacta.

kyle kanos · Answer 1

Es simplemente una definición de las propiedades de un componente fluctuante. Requerimos que, en escalas de tiempo lo suficientemente grandes, el componente fluctuante promedia cero:

\frac{1}{T} \int_{t}^{t + T} {tu}^{'} (t) d t = 0

$\frac{1}{T}\int_t^{t+T}u'(t)\,dt=0$ de modo que se quede solo con el término de flujo a granel,

U

$U$ , que contribuye a la velocidad media,

\bar{u}

$\bar{u}$ .

Sin embargo , creo que esto se ve más fácilmente visualmente que matemáticamente. Básicamente, su gráfico de velocidad vs tiempo se ve así ¹ ,

gráfico de velocidad turbulenta hecho en casa

Como puede ver en el gráfico anterior, si observa escalas de tiempo muy cortas (por ejemplo, $T\sim3$ ), la turbulencia puede dominar el valor de la velocidad. Sin embargo, durante un período de tiempo lo suficientemente grande (p. ej., $T\sim20$ ), el efecto de la turbulencia es bastante pequeño y la velocidad media, $\bar{u}$ , es simplemente la velocidad a granel, $U$ .

^{1 Esto se generó usando Rtomándolos up <- rnorm(n=100, mean=0, sd=1)y u <- 8agregándolos para la trama: plot(0, xlim=c(0,100), ylim=c(0,16); lines(u+up). Entonces $u'$ es una distribución normal con media de cero y una desviación estándar de 1.}

Ciclón · Answer 2

Esta es una muy buena pregunta, que ilustra que el promedio de Reynolds es una forma muy especial de promediar. De hecho, el procedimiento de promediación de Reynolds asume tres propiedades del operador de promediación:

Linealidad: Sea $a,b$ ser constantes y $f,g$ observables $\overline{af+bg} = a \overline{f}+ b \overline{g}$ .
Conmuta con derivadas: $\overline{\frac{\partial f}{\partial s}} =\frac{\partial\overline{ f}}{\partial s}$ , para $s=x,y,z$ o $t$
Propiedad de factorización: $\overline{f\overline{g}} = \overline{f}\overline{g}$ .

Como se discutió aquí , estas propiedades no se satisfacen, en un sentido exacto, por muchos procedimientos comunes de promediación. Por ejemplo, el promedio móvil que sugiere no satisface ni 3. ni 2., pero como Kyle dijo correctamente, en la práctica, cuando se manejan datos reales, uno simplemente elige el período de suavizado lo suficientemente largo y también puede usar una función de ponderación para minimizar el problema. Un ejemplo de un operador promediador que satisface 1.-3. es el promedio zonal alrededor de un círculo de latitud de la Tierra que a menudo se considera al estudiar la circulación general de la atmósfera (el estado básico en este caso es zonalmente simétrico).

Promedio de Reynolds Ecuaciones de Navier Stokes y escala de turbulencia

algo

Yrogirg

Respuestas (2)

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