Uso de productos tensoriales en la notación bra-ket

Question

Uso de productos tensoriales en la notación bra-ket

Invenietis

Estoy tratando de encontrar el valor esperado del operador. $\hat W(x_1,x_2)=\hat x_1 \hat x_2$ con respecto a los estados propios de un sistema compuesto por dos osciladores armónicos cuánticos unidimensionales. El estado propio del sistema total será $|n_1n_2\rangle=|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle$ , con $|n_1\rangle$ , $|n_2\rangle$ los estados propios de cada oscilador individual, por lo que el valor esperado será

((| {norte}_{1} ⟩ \otimes | {norte}_{2} ⟩)^{†}, \hat{W} (| {norte}_{1} ⟩ \otimes | {norte}_{2} ⟩))

$\left((|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle )^\dagger,\hat W(|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle) \right)$ Me han surgido dos preguntas con esto:

¿El sujetador corresponde a un ket formado por un producto tensorial justo el producto tensorial de los sujetadores, $\left(|n_1 n_2\rangle \right)^\dagger=\left(|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle \right)^\dagger=\langle n_1| \otimes \langle n_2| =\langle n_1 n_2|$ ?
¿Son los operadores correspondientes a diferentes espacios de Hilbert asociativos con respecto al producto tensorial de diferentes estados? Eso es, $\hat x_1 \hat x_2 (|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle)=\hat x_1 |n_1\rangle \otimes\hat x_2 |n_2\rangle?$
¿Cómo se comportan los productos internos con respecto a los productos tensoriales? ¿Sería justo $\big(\langle n_1| \otimes \langle n_2|\big) \big(\hat x_1 |n_1\rangle \otimes\hat x_2 |n_2\rangle \big)= \langle n_1|\hat x_1 |n_1\rangle\otimes\ \langle n_2|\hat x_2 |n_2\rangle$ ?

Frobenius

No estrictamente relacionado: Espín total de dos partículas de espín-1/2 .

Respuestas (2)

Uso de productos tensoriales en la notación bra-ket

No estrictamente relacionado: Espín total de dos partículas de espín-1/2 .

Tobias Funke · Answer 1

La respuesta a su primera pregunta es sí, vea por ejemplo ecuaciones $(1.32)-(1.36)$ en estas notas de clase .

Para responder a la segunda pregunta, considere un espacio de Hilbert bipartito $\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$ y deja $o_1$ y $o_2$ denotar operadores en $\mathscr{H}_1$ y $\mathscr{H}_2$ , respectivamente. Entonces podemos definir la acción de $o_1$ y $o_2$ en $\mathscr{H}$ por

\begin{aligned} O_{1} & \equiv o_{1} \otimes I_{2} \\ O_{2} & \equiv I_{1} \otimes o_{2}, \end{aligned}

$\begin{align} O_1 &\equiv o_1 \otimes \mathbb{I}_2 \\ O_2 &\equiv \mathbb{I}_1 \otimes o_2 \quad , \end{align}$ dónde

I_{i}

$\mathbb{I}_i$ para

i = 1, 2

$i=1,2$ denota el operador de identidad en

H_{i}

$\mathscr{H}_i$ .

Ahora deja $|\varphi_i\rangle \in \mathscr{H}_i$ y $\mathscr{H} \ni|\varphi\rangle \equiv |\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle$ . nosotros calculamos

\begin{aligned} O_{1} | φ ⟩ & = o_{1} | φ_{1} ⟩ \otimes I_{2} | φ_{2} ⟩ \\ O_{2} | φ ⟩ & = I_{1} | φ_{1} ⟩ \otimes o_{2} | φ_{2} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} O_1 |\varphi\rangle &= o_1 |\varphi_1\rangle \otimes \mathbb{I}_2 |\varphi_2\rangle\\ O_2 |\varphi\rangle &= \mathbb{I}_1 |\varphi_1\rangle \otimes o_2 |\varphi_2\rangle \quad . \end{align}$ En consecuencia, aplicando ambos operadores sucesivamente, obtenemos:

O_{1} O_{2} | φ ⟩ = O_{2} O_{1} | φ ⟩ = o_{1} | φ_{1} ⟩ \otimes o_{2} | φ_{2} ⟩ .

$O_1 \, O_2 |\varphi\rangle= O_2\, O_1 |\varphi\rangle = o_1 |\varphi_1\rangle \otimes o_2 |\varphi_2\rangle \quad .$

Además, para $O\equiv o_1 \otimes o_2$ tenemos $O^\dagger = o_1^\dagger \otimes o_2^\dagger$ .

Con respecto a la tercera pregunta, tenga en cuenta que para un producto interno en $\mathscr{H}$ sostiene que

(φ_{1} \otimes φ_{2}, ϕ_{1} \otimes ϕ_{2})_{H} = (φ_{1}, ϕ_{1})_{H_{1}} (φ_{2}, ϕ_{2})_{H_{2}} .

$(\varphi_1 \otimes \varphi_2 , \phi_1 \otimes \phi_2)_{\mathscr{H}} = (\varphi_1,\phi_1)_{\mathscr{H}_1}\,(\varphi_2,\phi_2)_{\mathscr{H}_2} \quad .$ Definición

ϕ_{i} \equiv o_{i} φ_{i}

$\phi_i \equiv o_i \varphi_i$ produce una expresión para el valor esperado de

O_{1} O_{2}

$O_1\,O_2$ .

Se proporciona una explicación más detallada en las notas de lectura vinculadas anteriormente, ecuaciones $(1.26)-(1.31)$ o también en el enlace de Wikipedia proporcionado en la otra respuesta.

¿Cómo podríamos justificar eso? $\mathbb{I}_2$ no actúa sobre $|\varphi_1\rangle$ ?
@Invenietis Bueno, su acción sobre elementos de $\mathscr{H}_1$ es, en general, ni siquiera bien definido. Solo como ejemplo, si $\mathrm{dim}\, \mathscr{H}_1 = 2$ y $\mathrm{dim} \,\mathscr{H}_2 = 3$ , entonces, en términos generales, $|\varphi_1\rangle$ es un vector con $2$ entradas, pero $\mathbb{I}_2$ es un $3\times 3$ matriz. y algo como $\mathbb{I}_2 |\varphi_1\rangle$ no está bien definido. En general, como también señala la otra respuesta, tenemos $o_1 \otimes o_2 \left( |\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle\right) = o_1|\varphi_1\rangle \otimes o_2|\varphi_2\rangle$ .
@Invenietis Uno designa , uno no "justifica"; esto es lo que significan los subíndices . Al apreciar esto, uno simplemente se salta los símbolos de productos tensoriales, ¡ya que están implícitos!
Olvidé preguntar sobre el comportamiento del producto tensorial con respecto al producto interno... ¿Podrías agregar una explicación?
Bien gracias. Entonces, desde $(\varphi_1,\phi_1)_{\mathscr{H}_1}\,$ y $(\varphi_2,\phi_2)_{\mathscr{H}_2}$ son escalares, el producto $\otimes$ entre ellos sería un producto ordinario, ¿no?

filipo · Answer 2

Con respecto a su segunda pregunta: Sí, y esa es en realidad la propiedad definitoria de $\hat x_1 \hat x_2$ :

Dejar $V,V',W,W'$ ser espacios vectoriales sobre un campo $F$ (Por ejemplo, $V'$ y $W'$ pueden ser espacios de Hilbert con subespacios vectoriales $V$ y $W$ ). Si

A : V \to V^{'}

$A\colon V\to V'$ y

B : W \to W^{'}

$B\colon W\to W'$ son funciones lineales, la función

\begin{aligned} V \times W & \to V^{'} \otimes W^{'} \\ (v, w) & \mapsto (A v) \otimes (B w) \end{aligned}

$\begin{align} V\times W&\to V'\otimes W'\\ (v,w)&\mapsto(Av)\otimes(Bw) \end{align}$ es bilineal y por la propiedad universal del producto tensorial, se extiende a una única función lineal

A \otimes B : V \otimes W \to V^{'} \otimes W^{'}

$A\otimes B\colon V\otimes W\to V'\otimes W'$ satisfactorio

(A \otimes B) (v \otimes w) = (A v) \otimes (B w)

$(A\otimes B)(v\otimes w)=(Av)\otimes(Bw)$ para todos

(v, w) \in V \times W

$(v,w)\in V\times W$ .

Advertencia : si $H_1$ y $H_2$ son espacios de Hilbert, el espacio vectorial $H_1\otimes H_2$ junto con el producto interior único que satisface

⟨ v_{1} \otimes v_{2} | w_{1} \otimes w_{2} ⟩ = ⟨ v_{1} | w_{1} ⟩ ⟨ v_{2} | w_{2} ⟩

$\langle v_1\otimes v_2|w_1\otimes w_2\rangle=\langle v_1|w_1\rangle\langle v_2|w_2\rangle$ no es necesariamente un nuevo espacio de Hilbert, por lo que generalmente consideramos el producto tensorial de Hilbert

H_{1} \hat{\otimes} H_{2}

$H_1\hat{\otimes} H_2$ .

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