Entendiendo la notación bra-ket

Un espacio de Hilbert complejo$\mathcal{H}$es solo un espacio vectorial sobre$\mathbb{C}$equipado con un producto interior (completo). Para ayudar a su intuición, puede ser útil recordar que todo espacio de Hilbert complejo de dimensión finita es isomorfo a$\mathbb{C}^n$para algunos$n$.

Ahora, asume$\mathcal{H}$es finito con dimensión$n$. Elige una base y rotula sus elementos con$1$,$\cdots$,$n$. Entonces, en las notaciones de Dirac$|n\rangle$es un elemento de su base (y más generalmente un elemento de$\mathcal{H}$) mientras$n$es una mera etiqueta. Un elemento genérico$|\psi\rangle$de$\mathcal{H}$puede ser escrito

En las notaciones de Dirac, el producto interno se denota por$\langle \cdot | \cdot \rangle$, por eso$\langle i | \psi\rangle$simplemente denota el producto interno de$|i\rangle$con$|\psi\rangle$, a saber$\alpha_i$. Más generalmente, si$|\psi\rangle$y$|\phi\rangle$denota dos elementos de$\mathcal{H}$con$|\phi\rangle = \sum_i \beta_i |i\rangle$, entonces$\langle \psi|\phi\rangle$denota su producto interno, a saber$\sum_i \alpha_i^*\beta_i$.

Además, como espacio vectorial$\mathcal{H}$tiene también un espacio dual$\mathcal{H}^{\dagger}$. Tenga en cuenta que$\mathcal{H}^{\dagger}$es el espacio de mapas lineales de$\mathcal{H}$a$\mathbb{C}$. Existe una correspondencia biunívoca entre$\mathcal{H}$y$\mathcal{H}^{\dagger}$que uno puede definir con la ayuda del producto interior. En las notaciones de Dirac, la imagen de$|\psi\rangle$bajo esta correspondencia se denota$\langle \psi|$, de modo que$\langle \psi|$aplicado a$|\phi\rangle$es el producto interior$\langle \psi|\phi\rangle$.

Finalmente, un operador$\hat{A}$es solo un mapa lineal$\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$en estados$|\psi\rangle$. dado un estado$|\psi\rangle$,$\hat{A}|\psi\rangle$es simplemente otro estado, es decir, otro elemento de$\mathcal{H}$. Entonces,$\langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle$es simplemente el producto interno de$|\psi\rangle$con$\hat{A}|\psi\rangle$. Así es como el valor esperado de$\hat{A}$en el estado$|\psi\rangle$se define.

Una vez que comprenda el caso discreto en el que su base es finita o al menos contable, puede intentar comprender el caso en el que su base ya no es contable. En este caso la etiqueta$\psi$se vuelve continuo y$\sum$se reemplaza por una integral$\int$, pero conceptualmente la situación no ha cambiado, todavía se trata de un espacio vectorial complejo equipado con un producto interno.

De hecho, si los elementos$|r\rangle$'s, donde$r$ahora es una etiqueta continua, denota los elementos básicos de su espacio, luego un elemento genérico$|\psi\rangle$es de la forma$\int dr\, \psi(r)|r\rangle$dónde$\psi(r)$simplemente denota el producto interno$\langle r|\psi\rangle$.

$\int dr\, |r\rangle \langle r|$es solo una notación para el operador que mapea$|\psi\rangle$a$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$. Como se señaló anteriormente$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$es solo$\int dr\, \psi(r)|r\rangle$, a saber$|\psi\rangle$sí mismo. En otras palabras,$\int dr\, |r\rangle \langle r|$es solo el operador de identidad$I$.

Como consecuencia,$I$aplicado a$|\psi\rangle$es$|\psi\rangle$, pero también se puede escribir como$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$, de ahí la primera igualdad de las tres igualdades que se encuentran en su libro y mencionadas en su pregunta. La segunda y la tercera igualdad expresan la misma idea usando diferentes bases (por ejemplo, la base del momento en la segunda igualdad en lugar de la base de la posición en la primera).

$\langle \cdot | \cdot \rangle$es un producto interior.

Primero renombramos$r$como$r_0$y pensemos en ello como una constante fija (es decir, un metro o lo que quieras). Cuando escribes$\langle r_0 | \psi \rangle$, estás tomando el producto interno entre tu estado$| \psi \rangle$y$\langle r_0 |$. Pero$| r_0 \rangle$es un elemento de la base$\{| r \rangle :$ $r \in \mathbb{R}, r>0\}$, por lo que también podemos decir que estamos proyectando su estado (vector) en el elemento base$| r_0 \rangle$. En el espacio euclidiano, esto es equivalente a proyectar su vector en el eje x, y o z (o en cualquier otra dirección). La base completa de nuestro espacio de Hilbert es el conjunto de todos los estados de posición en el positivo (supongo que$r$representa la dirección radial) línea real, por lo que la base es REALMENTE grande, tan grande como el conjunto completo de números reales. para cada distinto$r_j$, Tu puedes pensar en$|r_j \rangle$como un eje en el espacio euclidiano. Pero el espacio euclidiano solo tiene 3 dimensiones, entonces tres ejes, donde nuestro espacio de Hilbert tiene una cantidad infinita de ejes.

En el espacio euclidiano, puedes descomponer cualquier vector en componentes de una base. Anteriormente, dada una base (ortonormal)$x_0,x_1,x_2$, podemos escribir nuestro vector$x$como$x= x \cdot x_0 \cdot e_0 + x \cdot x_1 \cdot e_1+ x \cdot x_2 \cdot e_2 = \sum_{i=0}^2 x_i\cdot x \cdot e_i$dónde$e_i$está en el vector direccional de$x_i$. Esto equivale a decir que un vector es la suma de todos sus componentes (proyecciones) en todas las direcciones de la base. Desde$\langle r_j| r_i \rangle =0$si$r_i\neq r_j$, y$\langle r_j| r_j \rangle =1$,$|r\rangle$es una base ortonormal.

Para nuestro espacio de Hilbert tenemos así$|\psi \rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} \langle r \cdot| \psi \rangle |r\rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} |r\rangle\langle r| \psi \rangle$donde tenemos la correspondencia directa$e_i ->|r\rangle , x_i -> \langle r|$y$x -> |\psi \rangle$.

Como estamos sumando sobre toda la línea real positiva, podemos transformar esa suma en una integral y así obtenemos$|\psi \rangle = \int |r\rangle\langle r| \psi \rangle dr$

Pero$|\psi \rangle$no depende de r, por lo que podemos sacarlo de la integral, lo que da como resultado que$\int |r\rangle\langle r|dr$debe ser la identidad ya que la ecuación anterior es verdadera para todos$|\psi\rangle$.

Ahora podemos abordar el valor esperado de un operador.$\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{A} \int |x\rangle\langle x|dx| \psi \rangle = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\langle x|\psi\rangle dx = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\Psi(x) dx$

Ahora, si eres inteligente, usas una base tal que$\hat{A}$es diagonal en esa base, en cuyo caso tienes$\hat{A}|x\rangle=|x\rangle A(x)$, dónde$A(x)$es el valor propio del vector propio$|x\rangle$de$\hat{A}$. (Para el operador de posición$\hat{x}$ $\hat{x}|x\rangle=|x\rangle x$. Así es en realidad como la base$|x\rangle$se define, como la base que diagonaliza el operador de posición.)

Así tenemos$\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \int \langle \psi | x\rangle A(x) \Psi(x) dx=\int \Psi(x)^* A(x) \Psi(x) dx$

Tenga en cuenta que, como en el espacio euclidiano, hay más de una base ortonormal, por lo que puede proyectar su estado$|\psi\rangle$en otra base diferente a la base de la posición. Por ejemplo, puedes expresar tu función de onda$\Psi$en posición o espacio de impulso, que simplemente corresponden a proyectar su estado$|\psi \rangle$en la base de posición o momento respectivamente. Proyectas tu estado en la base que te es más útil. Por ejemplo, se proyecta en la base de la cantidad de movimiento si desea conocer la cantidad de movimiento promedio de su partícula porque entonces el operador de cantidad de movimiento es diagonal y, por lo tanto, el valor esperado de la cantidad de movimiento de su partícula es fácil de calcular.$\langle\hat{p}\rangle = \int p|\Psi(p)|^2 dp$

Otro ejemplo, puede expresar cualquier estado de espín mediante el componente z, x o y del estado, que son todas bases equivalentemente válidas.