¿Es realmente necesaria la notación de Dirac?

Una cosa que siempre me ha molestado en la notación de Dirac es que asume que el espacio de Hilbert contiene una "base continua" de vectores | X ⟩ , que resultan ser vectores propios de un operador X (que no tiene valores propios, solo un espectro continuo que abarca todo el espacio). Su producto interno tiene valor de distribución, con ⟨ X ′ | X ⟩ = d ( X ′ − X ) . También existe la propiedad de normalización críptica: ∫ | X ⟩ ⟨ X | d X = I d . De acuerdo con esta pregunta , algunos de estos no pueden hacerse rigurosos incluso con algo como el concepto de "Espacios de Hilbert amañados".

Entonces, ¿hay otro enfoque de la mecánica cuántica en general que eluda este problema por completo, sin pérdida de poder descriptivo?

El uso de esa base continua no es realmente una característica de la notación como tal : escribir vectores no como sujetadores y kets no prohibiría a ningún físico usar la base de posición. El "enfoque" de la mecánica cuántica que elude este problema, o solo utiliza sus partes rigurosas, es simplemente una mecánica cuántica "rigurosa" o "matemática". No estoy exactamente seguro de qué tipo de respuesta está buscando para esta pregunta: la forma exacta de hacer que un paso determinado sea riguroso dependerá del paso.
No entiendo estas preguntas porque uso la notación de tecla de bra para vectores en un espacio vectorial de dimensión finita todo el tiempo.
@DanielSank El OP no pregunta sobre espacios vectoriales de dimensión finita. Con respecto a la nota de ACuriousMind, mi impresión es que el OP pregunta si son posibles formulaciones alternativas de QM que eviten por completo el uso de tal base continua. No es que pueda darle una respuesta significativa.
@JanBos Creo que Daniel solo se opone a una declaración demasiado amplia sobre la notación de Dirac. No hay nada al respecto que suponga intrínsecamente una base continua, ni se necesita hacer mecánica cuántica con operadores que tengan espectros continuos (sin perjuicio de las dificultades de rigor que acompañan al trabajo en cualquier notación).
La notación de Dirac es solo una notación conveniente semi-rigurosa que ayuda a hacer algunos cálculos más rápidos; no es necesario para la formulación de la mecánica cuántica. De hecho, la mecánica cuántica se puede formular de manera rigurosa sin problemas, utilizando herramientas matemáticas más sofisticadas (como C*-álgebras de observables).

Respuestas (1)

El problema, a mi modo de ver, no radica en la notación como tal, sino en el escenario físico que se está estudiando. El espacio-tiempo es infinito continuo. Por lo tanto, se requiere una base que también sea continua e infinita. Entonces, independientemente de cómo se represente tal base en términos de una notación, su condición de ortogonalidad necesariamente tendría que incluir una función delta de Dirac. Al final, uno puede quitarse el sombrero ante personas como Dirac, quien ideó algún sistema matemático que hace posible hacer cálculos que pueden conducir a predicciones, que a su vez pueden probarse en experimentos. El mero hecho de que tales predicciones a menudo concuerden con estos resultados experimentales, parece indicar que esta forma de calcular estas cantidades usando este formalismo matemático debe ser correcta hasta cierto punto. Entonces se convierte en un desafío para los matemáticos tratar de encontrar un sistema axiomático que pueda conducir a este formalismo de manera consistente. Esto a menudo implica que sería necesario ampliar las nociones de integrales, espacios vectoriales y demás para que el formalismo pueda funcionar en un sentido estrictamente matemático. Ya sea que ese sea el caso o no, por lo general no impide que los físicos usen el formalismo.

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