Diferencia entre |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ| \izquierda | \psi \right > \left < \psi \right| y ⟨ψ|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩ \left < \psi \right | \izquierda . \psi\right>

En general la ecuación$|\psi\rangle\langle\psi|=1$es falso: debe sumar un conjunto completo de estados:

$$\sum_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|=1$$

Por ejemplo, la base de posición habitual proporciona un conjunto conveniente de estados completos,$|\psi_i\rangle=|q\rangle$, donde la suma es en realidad una integral:

$$\int\mathrm dq\ |q\rangle\langle q|=1$$

Por otro lado, tu segunda ecuación está bien, pero la primera no: debería decir

$$|\psi\rangle\langle\psi|=\left[\overbrace{\int\mathrm dq\ |q\rangle\langle q|}^1\right]|\psi\rangle\langle\psi|\left[\overbrace{\int\mathrm dq'\ |q'\rangle\langle q'|}^1\right]=\int\mathrm dq\,\mathrm dq'\ \psi(q)\psi^*(q')\ |q\rangle\langle q'|$$ que no se puede simplificar más. Una manera simple de entender por qué su segunda ecuación es incorrecta en general es notar que $|\psi\rangle$es un vector, y por lo tanto $|\psi\rangle\langle\psi|$es un operador. Por otro lado, la rhs de tu segunda ecuación es un escalar y, por lo tanto, la ecuación no se puede sostener.

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Hay una cierta analogía (que no me gusta mucho) que puede ayudarte a entender lo que está pasando. Si pensamos en un espacio vectorial de dimensión finita, entonces existe una cierta correspondencia entre kets y vectores de columna, y sujetadores y vectores de fila:

$$|\psi\rangle\sim\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}\qquad\qquad\langle\psi|\sim\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}$$

En este caso,

$$\langle\psi|\psi\rangle=\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+|\psi_3|^2\in\mathbb R$$

Por otro lado,

$$|\psi\rangle\langle|\psi|\sim\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} |\psi_1|^2&\psi_1\psi_2^*&\psi_1\psi_3^*\\ \psi_2\psi_1^*&|\psi_2|^2&\psi_2\psi_3^*\\ \psi_3\psi_1^*&\psi_3\psi_2^*&|\psi_3|^2 \end{pmatrix}$$ es una matriz, y por lo tanto simplemente no tiene sentido afirmar $|\psi\rangle\langle\psi|=\langle\psi|\psi\rangle$: ambos lados son objetos diferentes y viven en espacios diferentes.