Teoría cuántica de campos: operador numérico N^=a†aN^=a†a\hat{N} = a^\dagger a y notación bra-ket

$|n\rangle$es un estado propio del operador numérico$\hat{N}$con el valor propio$n$. Al ser un estado propio, aplicar el operador al estado no cambia el estado, por lo que el resultado será proporcional a$|n\rangle$. La constante de proporcionalidad es exactamente el valor propio$n$, por eso$\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle$.

Usando la terminología de Weyl (1930, "The Theory of Groups and Quantum Mechanics"), la interpretación de una ecuación de forma$\hat{L} \, |A\rangle = |B\rangle$es que el "operador lineal"$\hat{L}$es una "correspondencia lineal" mapeando el vector$|A\rangle$a otro vector$|B\rangle$en el mismo espacio vectorial.

En la teoría cuántica, el estado de un sistema se representa mediante un rayo en un espacio vectorial (espacio de Hilbert), y dos rayos paralelos de diferente longitud representan el mismo estado (solo para que funcione la interpretación de la probabilidad necesitamos normalizar los vectores de estado ). Volviendo ahora a su ecuación de valor propio$\hat{N} \, |n\rangle = n \, |n\rangle$, aquí$|n\rangle$es tal vector de estado, es decir, un "rayo" normalizado en el espacio de Hilbert, y el operador$\hat{N}$mapea esto a un rayo paralelo cuya longitud es alterada por el factor (real)$n$. Esto no significa$\hat{N}$ha cambiado de estado.

El operador de creación y aniquilación funciona de la siguiente manera cuando se aplica al estado$| n \rangle$:

Así que cuando aplicas$\hat{N}= \hat{a}^\dagger \hat{a}$usted obtiene: