Existencia de adjunto de un operador antilineal, inversión de tiempo

Question

Existencia de adjunto de un operador antilineal, inversión de tiempo

LYg

El operador de inversión de tiempo $T$ es un operador antiunitario, y vi $T^\dagger$ en muchos lugares
(por ejemplo, cuando un tipo está haciendo una "reversión del tiempo" $THT^\dagger$ ),
pero me pregunto si hay un adjunto bien definido para un operador antilineal.
Supongamos que tenemos un operador antilineal $A$ tal que

A (C_{1} | ψ_{1} ⟩ + C_{2} | ψ_{2} ⟩) = C_{1}^{*} A | ψ_{1} ⟩ + C_{2}^{*} A | ψ_{2} ⟩

$A(c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle)=c_1^*A|\psi_1\rangle+c_2^*A|\psi_2\rangle$ para cualquiera de los dos kets

| ψ_{1} ⟩, | ψ_{2} ⟩

$|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle$ y dos números complejos cualesquiera

c_{1}^{*}, c_{2}^{*}

$c_1^*, c_2^*$ .

Y debajo está mi razón para cuestionar la existencia de

A^{†}

$A^\dagger$ :
Vamos a calcular

⟨ ϕ | c A^{†} | ψ ⟩

$\langle \phi|cA^\dagger|\psi\rangle$ .
Por un lado, obviamente

⟨ ϕ | C A^{†} | ψ ⟩ = C ⟨ ϕ | A^{†} | ψ ⟩ .

$\langle \phi|cA^\dagger|\psi\rangle=c\langle \phi|A^\dagger|\psi\rangle.$ Pero en la otra mano,

⟨ ϕ | C A^{†} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A C^{*} | ϕ ⟩^{*} = ⟨ ψ | C A | ϕ ⟩^{*} = C^{*} ⟨ ψ | A | ϕ ⟩^{*} = C^{*} ⟨ ϕ | A^{†} | ψ ⟩,

c ⟨ ϕ | A^{†} | ψ ⟩ = c^{*} ⟨ ϕ | A^{†} | ψ ⟩

$c\langle \phi|A^\dagger|\psi\rangle=c^*\langle \phi|A^\dagger|\psi\rangle$ , casi siempre falso, y por lo tanto una contradicción!

Entonces, ¿dónde me equivoqué si de hecho

A^{†}

$A^\dagger$ existe?

Motl de Luboš

Tu error es que introdujiste un símbolo ambiguo

c A^{†}

$c A^\dagger$ pero no especificó claramente si este operador primero se multiplica por

c

$c$ y luego actúa por

A^{†}

$A^\dagger$ , o viceversa. En cambio, usó ambas interpretaciones del símbolo en las dos líneas "mutuamente contradictorias", por lo que, por supuesto, terminó con una contradicción. No hay ninguna contradicción real aquí con la conjugación compleja. Si

A

$A$ es antilineal y

A^{†}

$A^\dagger$ existe, por supuesto que

A^{†}

$A^\dagger$ también es antilineal (al igual que el conjugado hermitiano de un operador lineal sigue siendo lineal).

Motl de Luboš

Déjame ser más específico. Si definiste

c A^{†}

$cA^\dagger$ ser el operador que primero actúe por

A^{†}

$A^\dagger$ en ket y luego se multiplica por

c

$c$ , entonces su acción sobre los sujetadores aún debe ser que actúa primero por

A^{†}

$A^\dagger$ a la izquierda y luego se multiplica por

c

$c$ . Usó la regla opuesta en la segunda línea, y es por eso que produjo una estrella adicional incorrecta arriba

c

$c$ una vez que intercambiaste

c

$c$ y

A^{†}

$A^\dagger$ .

Incnis Mrsi

“ A  c*⁠ = c  A ” no es una identidad válida. Consulte también physics.stackexchange.com/q/43069

Respuestas (1)

Existencia de adjunto de un operador antilineal, inversión de tiempo

Tu error es que introdujiste un símbolo ambiguo $c A^\dagger$ pero no especificó claramente si este operador primero se multiplica por $c$ y luego actúa por $A^\dagger$ , o viceversa. En cambio, usó ambas interpretaciones del símbolo en las dos líneas "mutuamente contradictorias", por lo que, por supuesto, terminó con una contradicción. No hay ninguna contradicción real aquí con la conjugación compleja. Si $A$ es antilineal y $A^\dagger$ existe, por supuesto que $A^\dagger$ también es antilineal (al igual que el conjugado hermitiano de un operador lineal sigue siendo lineal).
Déjame ser más específico. Si definiste $cA^\dagger$ ser el operador que primero actúe por $A^\dagger$ en ket y luego se multiplica por $c$ , entonces su acción sobre los sujetadores aún debe ser que actúa primero por $A^\dagger$ a la izquierda y luego se multiplica por $c$ . Usó la regla opuesta en la segunda línea, y es por eso que produjo una estrella adicional incorrecta arriba $c$ una vez que intercambiaste $c$ y $A^\dagger$ .
“ A  c*⁠ = c  A ” no es una identidad válida. Consulte también physics.stackexchange.com/q/43069

qmecanico · Answer 1

I) En primer lugar, nunca se debe usar la notación bra-ket de Dirac (en su última versión donde un operador actúa a la derecha en kets y a la izquierda en bras) para considerar la definición de adjunción , ya que la notación fue diseñada para hacer que la propiedad de conjunción parezca una trivialidad matemática, que no lo es. Ver también esta publicación de Phys.SE.

II) La pregunta de OP (v1) sobre la existencia del adjunto de un operador antilineal es una pregunta matemática interesante, que rara vez se trata en los libros de texto, porque generalmente comienzan asumiendo que los operadores son $\mathbb{C}$ -lineal.

III) Recordemos a continuación la definición matemática del adjunto de un operador lineal. Sea un espacio de Hilbert $H$ sobre un campo $\mathbb{F}$ , que en principio pueden ser números reales o complejos, $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ . Por supuesto, en mecánica cuántica, $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ . En el caso complejo, usaremos la convención estándar de los físicos de que el producto interno/forma sequilineal $\langle \cdot | \cdot \rangle$ es conjugado $\mathbb{C}$ -lineal en la primera entrada, y $\mathbb{C}$ -lineal en la segunda entrada.

Recuerde el teorema de representación de Riesz : para cada continuo $\mathbb{F}$ -funcional lineal $f: H \to \mathbb{F}$ existe un único vector $u\in H$ tal que

\begin{matrix} (1) & F (\cdot) = ⟨ tu | \cdot ⟩ . \end{matrix}

$\tag{1} f(\cdot)~=~\langle u | \cdot \rangle.$

Dejar $A:H\to H$ ser un continuo $^1$ $\mathbb{F}$ -operador lineal. Dejar $v\in H$ ser un vector Considere el continuo $\mathbb{F}$ -funcional lineal

\begin{matrix} (2) & F (\cdot) = ⟨ v | A (\cdot) ⟩ . \end{matrix}

$\tag{2} f(\cdot)~=~\langle v | A(\cdot) \rangle.$

El valor $A^{\dagger}v\in H$ del operador adjunto $A^{\dagger}$ en el vector $v\in H$ es por definición el único vector $u\in H$ , garantizado por el teorema de representación de Riesz, tal que

\begin{matrix} (3) & F (\cdot) = ⟨ tu | \cdot ⟩ . \end{matrix}

$\tag{3} f(\cdot)~=~\langle u | \cdot \rangle.$

En otras palabras,

\begin{matrix} (4) & ⟨ A^{†} v | w ⟩ = ⟨ tu | w ⟩ = F (w) = ⟨ v | A w ⟩ . \end{matrix}

$\tag{4} \langle A^{\dagger}v | w \rangle~=~\langle u | w \rangle~=~f(w)=\langle v | Aw \rangle.$

Es sencillo comprobar que el operador adjunto $A^{\dagger}:H\to H$ definido de esta manera se convierte en un $\mathbb{F}$ -operador lineal también.

IV) Finalmente, volvamos a la pregunta de OP y consideremos la definición del adjunto de un operador antilineal. La definición se basará en la versión compleja del teorema de representación de Riesz. Dejar $H$ dado un espacio de Hilbert complejo, y sea $A:H\to H$ sea un operador continuo antilineal. En este caso, las ecuaciones anteriores (2) y (4) deben reemplazarse con

\begin{matrix} (2') & F (\cdot) = \bar{⟨ v | A (\cdot) ⟩}, \end{matrix}

$\tag{2'} f(\cdot)~=~\overline{\langle v | A(\cdot) \rangle},$

y

\begin{matrix} (4') & ⟨ A^{†} v | w ⟩ = ⟨ tu | w ⟩ = F (w) = \bar{⟨ v | A w ⟩}, \end{matrix}

$\tag{4'} \langle A^{\dagger}v | w \rangle~=~\langle u | w \rangle~=~f(w)=\overline{\langle v | Aw \rangle},$

respectivamente. Tenga en cuenta que $f$ es un $\mathbb{C}$ -funcional lineal.

Es sencillo comprobar que el operador adjunto $A^{\dagger}:H\to H$ así definido se convierte también en un operador antilineal.

--

$^{1}$ Ignoraremos las sutilezas con operadores discontinuos/ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

Existencia de adjunto de un operador antilineal, inversión de tiempo

LYg

Motl de Luboš

Motl de Luboš

Incnis Mrsi

Respuestas (1)

qmecanico

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Diferencia entre |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ| \izquierda | \psi \right > \left < \psi \right| y ⟨ψ|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩ \left < \psi \right | \izquierda . \psi\right>