Uso de la conservación de la energía cinética para encontrar el momento angular después de una colisión

Question

Uso de la conservación de la energía cinética para encontrar el momento angular después de una colisión

J H-

Estoy estudiando por mi cuenta, así que lamentablemente no tengo un profesor o compañero de clase a quien preguntarle esto. Principalmente estoy aprendiendo a través de Khan Academy, que es donde encontré esta pregunta:

Una bola de masa $M$ está rodando sobre una mesa con una velocidad $v$ como se ve en la vista de pájaro a continuación. Golpea el borde exterior de una barra uniforme de longitud $L$ que tiene la misma masa que la pelota $M$ . La barra estaba inicialmente en reposo, pero puede girar libremente alrededor del extremo izquierdo de la barra. Después de golpear la barra, la bola se detiene y la barra gira alrededor de su extremo izquierdo. En términos de cantidades dadas, ¿cuál es la rapidez angular ω de la barra inmediatamente después de ser golpeada por la pelota? El momento de inercia de una barra con respecto a su extremo es $\frac{1}{3}ML^2$ .

Entiendo cómo resolver esto usando la conservación del momento angular:

$mLv = I\omega$

$Lv = \frac{1}{3}mL^2 \omega$

$\omega = \frac{3v}{L}$

Esta es también la respuesta que proporciona el sitio web. Ahora supongo que la colisión es elástica, ¿o tal vez ese es mi error? Además, estamos hablando de una pelota, es decir, una esfera (¿no?), que tiene inercia rotacional. $I_b = \frac{2}{5}Mr^2$ . Suponiendo que la colisión es elástica y, por lo tanto, se mantiene la conservación de la energía cinética

$KE_i = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_{b}(\frac{v}{r_{b}})^2 = \frac{1}{2}m(v^2+\frac{2}{5}v^2)$

$KE_f = \frac{1}{2}I_{r}\omega_r^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}mL^2)\omega_r^2$

$KE_i = KE_f,$ entonces $\frac{7}{5}v^2=\frac{1}{3}L^2\omega_r^2$

$\omega_r^2 = \frac{21}{5}\frac{v^2}{L^2}$ , donación $\omega_r = \frac{\sqrt{21}v}{\sqrt{5}L}$

¿El problema radica en mis suposiciones o en mis cálculos? ¿La conclusión es simplemente que la colisión es inelástica?

Respuestas (2)

Uso de la conservación de la energía cinética para encontrar el momento angular después de una colisión

granjero · Answer 1

Esta es una buena pregunta que destaca algunas ideas importantes sobre las colisiones y el momento angular.
Como no sabe si la colisión es elástica pero sí sabe que no hay pares externos alrededor de un eje perpendicular a la mesa y que pasa por el punto de pivote $C$ de la barra, debe usar la conservación del momento angular para encontrar la velocidad final.

Entonces el momento angular orbital $\vec L_o =Mlv$ de la bola se transfiere a la barra.
Tenga en cuenta que el momento angular tiene una dirección que se encuentra usando la regla de agarre de la mano derecha como se muestra en el diagrama de arriba.

Usted ha señalado con bastante razón que debido a que la pelota rueda y no se desliza, también tiene energía cinética de rotación pero, y lo que es más importante, también tiene un momento angular de giro. $\vec L_s$ .

El momento angular de giro de la pelota $\vec L_s$ también tiene una dirección como se muestra en el diagrama pero no está en la misma dirección que el momento angular orbital $\vec L_o$ .
Entonces, para usar la conservación del momento angular sobre el eje definido por $\vec L_s$ debe considerar los pares sobre ese eje.
Hay un momento de torsión sobre ese eje y se debe a la fuerza ejercida en el punto de pivote. $C$ lo que impide que la barra gire sobre su eje longitudinal, por lo que no se conserva el momento angular ni tampoco la energía cinética de rotación asociada a él.
Incluso si la barra pudiera girar a lo largo de su eje largo y el momento angular de giro de la bola se transfiriera al momento angular de la barra que gira a lo largo del eje a lo largo de su longitud, puede estar seguro de que la energía cinética no se conservó.
Esto se debe a que en el instante del choque la bola gira y la barra no.
Si no hay fuerza de rozamiento no pasa nada más, la bola sigue girando y la varilla no gira.
Por lo tanto, la fricción debe estar presente para que se transfiera el momento angular.
Tan pronto como tenga fricción y movimiento relativo entre la bola que gira y la varilla, recordando que la varilla no puede alcanzar instantáneamente su velocidad final, la fuerza de fricción debe realizar un trabajo y este trabajo se manifiesta como calor.
Entonces, algo de energía cinética debe convertirse en calor: la colisión es inelástica.

Por lo tanto, es incorrecto agrupar todos los tipos de energía cinética y luego suponer que la energía cinética se conserva y que toda la energía cinética se convierte en energía cinética de rotación de la barra alrededor de un eje vertical a través del punto de pivote.

Zumbido · Answer 2

No puedo encontrar ningún momento de inercia posible para la pelota para el cual se pueda conservar la energía en la colisión; la energía cinética rotacional requerida de la bola tendría que ser $mv^{2}$ , indicando $I_{b}=2Mr^{2}$ , que es el doble del máximo permitido para algo de ese radio.

La única conclusión es que el evento de colisión debe ser inelástico.

Uso de la conservación de la energía cinética para encontrar el momento angular después de una colisión

J H-

Respuestas (2)

granjero

Zumbido

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