Colisión elástica y resorte.

Cuerpos$A$y$B$se mueven en la misma dirección en línea recta con velocidades constantes sobre una superficie sin fricción. La masa y la velocidad de$A$son$2 \text{kg}$y$10 \text{m/s}$. La masa y la velocidad de$B$son$6 \text{kg}$y$4 \text{m/s}$. Un resorte está conectado a la parte posterior del cuerpo.$B$y su tasa es$800 \text{N/m}$.

• ¿Cuál es la velocidad de$A$relativamente a$B$antes de la colisión y después de la colisión?

  (Respuesta:$6 \text{m/s}$y$-6 \text{m/s}$)

• ¿Cuál es la velocidad relativa entre los objetos cuando el resorte alcanza su máxima contracción?

  (Respuesta:$0$)

No tuve ningún problema con la primera pregunta. Sabemos que en colisión elástica el coeficiente de restitución es$1$, por lo tanto, las velocidades relativas antes y después de la colisión son iguales pero de signo opuesto. La velocidad relativa antes del choque es$10-4=6\text{m/s}$.

Mi problema es con la segunda pregunta. Pensé mucho al respecto y llegué a una contradicción en mis pensamientos (por supuesto que es porque me estoy perdiendo algo):

Por un lado, me parece que cuando la contracción del resorte es máxima, toda la energía cinética de$A$se transformó en una energía elástica potencial y en una parte de la energía cinética de$B$(se moverá más rápido). Entonces significa que$A$no tiene velocidad en ese momento, pero$B$tiene, por lo que es imposible que su velocidad relativa sea cero. Intuitivamente, significa que$A$tiene algo de energía cinética. Entonces significa que$A$será frenado por el resorte, hasta que su velocidad sea cero, y el resorte finalmente pueda volver a su estado normal. Entonces parece que el resorte se contraerá al máximo durante un período de tiempo relativamente corto hasta que la energía cinética de$A$se convierte en cero. Pero algo me dice que estoy equivocado. De todos modos, traté de jugar con la ley de conservación de la energía y envolverla en mis pensamientos, pero no funcionó del todo bien. Entonces, ¿qué me estoy perdiendo? Agradeceré cualquier ayuda.

Solución propuesta:

Velocidad relativa durante la contracción máxima

El momento$A$llega al resorte, el resorte empujará ambos cuerpos como una reacción al$A$el empuje. Por lo tanto, la$A$comenzará a decelerar mientras$B$comenzará a ganar más velocidad. A pesar de$A$está perdiendo su energía cinética, su velocidad no será cero en el momento de la contracción máxima. Esto es porque$A$continuará contrayendo el resorte mientras su velocidad sea mayor que la velocidad de$B$(y por lo tanto la velocidad del resorte mismo). En el momento en que sus velocidades son iguales,$A$ya no estará "adelantando" al resorte, por lo tanto su contracción será máxima en ese punto. Por lo tanto, la velocidad relativa es cero.

Encontrar la contracción máxima:

La cantidad de movimiento neta se conserva en cualquier punto del tiempo, por lo que:

$m_A v_A + m_B v_B = (m_A + m_B) V$

En esta pregunta en particular,$V$sería:$5.5 \text{m/s}$

También sabemos que la energía mecánica total se conserva (la colisión es perfectamente elástica), por lo tanto, la energía mecánica antes de la colisión (que solo consiste en energías cinéticas) será igual a la energía mecánica total durante el contrato máximo. Por lo tanto:

$\frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) V^2 + \frac{1}{2} k (\Delta x_{max})^2$

La energía cuando la contracción es máxima consiste en energías cinéticas de$A$y$B$(que se mueven con la misma velocidad) y de energía potencial elástica debido a que el resorte está contraído.

En esta pregunta en particular$\Delta x_{max}$sería:

$\Delta x_{max} = \sqrt{\frac{27}{400}} \approx 26 \text{cm}$