Colisión elástica entre un punto y un sólido en rotación

Question

Colisión elástica entre un punto y un sólido en rotación

Isao

Considere una partícula puntual con masa $m_1$ y velocidad $v_1$ , que choca con un sólido $S$ de masa $m_2$ , matriz de inercia rotacional $J$ , velocidad $v_2$ y la velocidad de rotación $\omega_2$ . denoto por $r$ el vector entre el centro de inercia del sólido y el punto de colisión, y por $n$ el vector normal al límite del sólido en el punto de colisión. El choque es elástico. Creo que estos datos son suficientes para obtener las velocidades y el momento angular del sólido después de la colisión. El caso es que no puedo escribir correctamente la conservación del momento y obtener la solución correcta. Tampoco pude encontrar una buena respuesta a esto en Internet... ¿Podrían ayudarme, por favor?

Probablemente debería mencionar que estoy haciendo matemáticas, y no he tenido una clase de física desde hace mucho tiempo...

Eso puede ser obvio, pero esto está en un contexto no relativista, aunque el problema de Lorentz también me interesa.

probablemente_alguien

¿En qué parte del sólido choca la partícula? Esa es información necesaria, ya que determina cuánto momento angular imparte la partícula al sólido.

Juan Alexiou

te refieres a la velocidad de rotacion

ω_{2}

$\omega_2$ en lugar de impulso.

Gert

@probably_someone: ¿se puede transferir AM sin fricción?

Agnius Vasiliauskas

¿Puedes darnos algún esquema/diagrama?

Juan Alexiou

¿ Posible duplicado de un problema no tan simple usando momento, energía y velocidad angular...?

Juan Alexiou

Espero que sepas acerca de los vectores, el producto punto de vectores y el producto cruz de vectores. De lo contrario, no podrás entender las matemáticas.

Respuestas (1)

Colisión elástica entre un punto y un sólido en rotación

¿En qué parte del sólido choca la partícula? Esa es información necesaria, ya que determina cuánto momento angular imparte la partícula al sólido.
te refieres a la velocidad de rotacion $\omega_2$ en lugar de impulso.
¿ Posible duplicado de un problema no tan simple usando momento, energía y velocidad angular...?
Espero que sepas acerca de los vectores, el producto punto de vectores y el producto cruz de vectores. De lo contrario, no podrás entender las matemáticas.

Juan Alexiou · Answer 1

Los dos cuerpos intercambian momento (escalar) $p$ a lo largo de la normal de contacto $\boldsymbol{n}$ , y a través del punto de contacto $\boldsymbol{r}$ (relativo al centro de masa).

Aquí hay un esquema de la situación.

El momento lineal está inherentemente equilibrado porque cualquier vector de momento $p\, \boldsymbol{n}$ se suma a (2) se resta de (1).

{metro}_{1} v_{1} + {metro}_{2} v_{2} = ({metro}_{1} v_{1} - pag norte) + ({metro}_{2} v_{2} + pag norte)

$m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 = \left( m_1 \boldsymbol{v}_1 -p \boldsymbol{n} \right) + \left(m_2 \boldsymbol{v}_2 + p \boldsymbol{n} \right)$

{metro}_{1} v_{1} + {metro}_{2} v_{2} = {metro}_{1} v_{1}^{⋆} + {metro}_{2} v_{2}^{⋆}

$m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 = m_1 \boldsymbol{v}_1^\star + m_2 \boldsymbol{v}_2^\star$

dónde $\square^\star$ son los valores después del impacto.

Se puede hacer un argumento similar para el momento angular, ya que el vector $\boldsymbol{r} \times p\, \boldsymbol{n}$ se suma a (2) y se resta de (1).

r \times {metro}_{1} v_{1} + j_{2} ω_{2} = (r \times {metro}_{1} v_{1} - r \times pag norte) + (j_{2} ω + r \times pag norte)

$\boldsymbol{r} \times m_1 \boldsymbol{v}_1 + \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2 = \left( \boldsymbol{r}\times m_1 \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{r} \times p\,\boldsymbol{n} \right) + \left( \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{r}\times p\,\boldsymbol{n} \right)$

r \times {metro}_{1} v_{1} + j_{2} ω_{2} = r \times metro v_{1}^{⋆} + r \times j_{2} ω_{2}^{⋆}

$\boldsymbol{r} \times m_1 \boldsymbol{v}_1 + \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2 = \boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}_1^\star + \boldsymbol{r} \times \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2^\star$

El problema se reduce a encontrar el valor de intercambio de un momento escalar $p$ (usualmente llamado el impulso). Esto se logra mediante la ley de los contactos, que relaciona la velocidad relativa del rebote con la velocidad relativa del impacto. Note que dije velocidad y no velocidad, ya que solo la velocidad a lo largo de la normal $\boldsymbol{n}$ es importante. La ley establece que $v_{\rm bounce} =-\epsilon\, v_{\rm impact}$ , dónde $\epsilon$ es el coeficiente de restitución.

Aquí las velocidades se transforman desde el centro de masa al punto de contacto y se proyectan a lo largo de la normal de contacto.

\begin{aligned} v_{i metro pag a C t} & = norte \cdot (v_{1} - v_{2} + r \times ω_{2}) \\ v_{b o tu norte C mi} & = norte \cdot (v_{1}^{⋆} - v_{2}^{⋆} + r \times ω_{2}^{⋆}) \end{aligned}

$\begin{aligned} v_{\rm impact} & = \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}_2 \right) \\ v_{\rm bounce} & = \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1^\star - \boldsymbol{v}_2^\star + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}_2^\star \right) \end{aligned}$

y de la conservación del momento tienes

\begin{aligned} {metro}_{1} v_{1}^{⋆} & = {metro}_{1} v_{1} - pag norte \\ {metro}_{2} v_{2}^{⋆} & = {metro}_{2} v_{2} + pag norte \\ j_{2} ω_{2}^{⋆} & = j_{2} ω + (r \times norte) pag \end{aligned}} \begin{aligned} v_{1}^{⋆} & = v_{1} - \frac{1}{{metro}_{1}} pag norte \\ v_{2}^{⋆} & = v_{2} + \frac{1}{{metro}_{2}} pag norte \\ ω_{2}^{⋆} & = ω_{2} + j_{2}^{- 1} (r \times norte) pag \end{aligned}

$\left. \begin{aligned} m_1 \boldsymbol{v}_1^\star & = m_1 \boldsymbol{v}_1 - p\,\boldsymbol{n} \\ m_2 \boldsymbol{v}_2^\star & = m_2 \boldsymbol{v}_2 + p\,\boldsymbol{n} \\ \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega}_2^\star &= \mathbf{J}_2 \boldsymbol{\omega} + (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}) p \end{aligned} \; \right\} \; \begin{aligned} \boldsymbol{v}_1^\star & = \boldsymbol{v}_1 - \tfrac{1}{m_1} p \boldsymbol{n} \\ \boldsymbol{v}_2^\star & = \boldsymbol{v}_2 + \tfrac{1}{m_2} p \boldsymbol{n} \\ \boldsymbol{\omega}_2^\star &= \boldsymbol{\omega}_2 + \mathbf{J}_2^{-1} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n} )p \end{aligned}$

La ecuación final compilada a partir de lo anterior y para ser resuelta para $p$ es

norte \cdot (- \frac{1}{{metro}_{1}} norte - \frac{1}{{metro}_{2}} norte + r \times j_{2}^{- 1} (r \times norte)) pag = - (1 + ϵ) norte \cdot (v_{1} - v_{2} + r \times ω_{2})

$\boldsymbol{n} \cdot \left( - \tfrac{1}{m_1} \boldsymbol{n} - \tfrac{1}{m_2} \boldsymbol{n} + \boldsymbol{r}\times \mathbf{J}_2^{-1} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n} ) \right) p = -(1+\epsilon)\, \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega}_2 \right)$

pag = \frac{(1 + ϵ) norte \cdot (v_{1} - v_{2} + r \times ω_{2})}{\frac{1}{{metro}_{1}} + \frac{1}{{metro}_{2}} - norte \cdot (r \times j_{2}^{- 1} (r \times norte))}

$\boxed{ p = \frac{(1+\epsilon)\, \boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega}_2 \right)}{ \tfrac{1}{m_1} + \tfrac{1}{m_2} -\boldsymbol{n} \cdot \left( \boldsymbol{r}\times \mathbf{J}_2^{-1} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n} ) \right)} }$

Ahora vuelve a sustituir $p$ en las expresiones anteriores para $\boldsymbol{v}_1^\star$ , $\boldsymbol{v}_2^\star$ y $\boldsymbol{\omega}^\star$ .

_{Tenga en cuenta que $\cdot$ es el producto escalar vectorial, y $\times$ el producto vectorial vectorial. También tenga en cuenta que $\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}=1$ .}

¡Eso es tan claro! ¡muchas gracias! Me preocupa el hecho de que no utiliza la conservación de la energía cinética. ¿Alguna explicación de esto?
La energía no se conserva en el caso general cuando el coeficiente de restitución es $\epsilon<1$ o al impactar contra un objeto inamovible $m_1 \rightarrow \infty$ .
Me acabo de dar cuenta de que mi respuesta es casi idéntica a esta respuesta .

Colisión elástica entre un punto y un sólido en rotación

Isao

probablemente_alguien

Juan Alexiou

Gert

Agnius Vasiliauskas

Juan Alexiou

Juan Alexiou

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Juan Alexiou

Isao

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