Usando el producto cruzado, encuentre el vector de dirección de la línea que une el punto de intersección de la línea y el plano y el pie de la perpendicular de la línea al plano.

Question

Usando el producto cruzado, encuentre el vector de dirección de la línea que une el punto de intersección de la línea y el plano y el pie de la perpendicular de la línea al plano.

vectores
Matemáticas
producto cruzado
álgebra lineal

Conejito

Una recta con ecuación $r=a+\lambda\vec{d}$ se encuentra con el avión $\pi$ con ecuación $r.\hat{n}=k$ en el punto P. El punto Q se encuentra en $\pi$ y es el pie de la perpendicular de A a $\pi$ . Encuentre el vector director de la línea PQ.

Al resolver $(a+\lambda\vec{d}).\hat{n}=k$ , pude encontrar el vector de posición de P. Luego, al encontrar la intersección de la línea AQ y el plano, pude encontrar el vector de posición de Q y, por lo tanto, el vector de dirección PQ.
Sin embargo, la respuesta se puede encontrar simplemente encontrando $(\hat{n}\times \vec{d})\times \hat{n}$ dónde $\times$ es producto cruzado. no entiendo porque
Esto es lo que sé: el producto cruzado de 2 vectores da un tercer vector perpendicular a los 2 vectores. La línea PQ se encuentra en el plano, por lo que el vector de dirección PQ $\perp \hat{n}$ . Además, AQ es paralelo a $\hat{n}$ .

La primera parte $w=(\hat{n}\times \vec{d})$ da un vector perpendicular a la línea y paralelo al plano. No $w\times n$ dar un vector perpendicular al plano de nuevo? No puedo entender la interpretación geométrica de $(\hat{n}\times \vec{d})\times \hat{n}$ .

Respuestas (3)

Usando el producto cruzado, encuentre el vector de dirección de la línea que une el punto de intersección de la línea y el plano y el pie de la perpendicular de la línea al plano.

Darshan P. · Answer 1

Imagina esta línea $r=a+\lambda\vec{d}$ es plano de intersección $\pi: \vec{r}.\hat n = k$

El producto cruz de $\hat n \times \hat{d} = \hat{u_1}$ este $\hat{u_1}$ será el vector unitario normal al plano de la línea que contiene la línea $r=a+\lambda\vec{d}$ y avion $\pi: \vec{r}.\hat n = k$
Ahora, tomamos el producto cruz de $\hat{u_1}$ y $\hat n$ : $\hat {u_2} = \hat {u_1} \times \hat n$ será el vector unitario requerido.
Nota: Aquí la $\hat {u_2}$ depende del vector unitario $\hat d$ Quiero decir $\hat u_2 = \hat {u_1} \times \hat n$ o $\hat {u_2} = \hat n \times \hat {u_1}$

Encuentre el vector director de la línea PQ.

Aquí, usé vectores unitarios solo porque estaba interesado en la dirección de $\vec{PQ}$ ;

Entendí el primer punto pero no el segundo. ¿Cómo supiste que el producto vectorial de u1 y u2 da el vector de dirección de PQ?
@Bunny En realidad, el hecho es $\hat u_2$ es perpendicular al plano creado por la normal del plano $\pi$ y línea $r = a + \lambda d$

Erín glorioso · Answer 2

el segmento $PQ$ se encuentra en un plano atravesado por la perpendicular al plano $n$ y el vector direccion $d$ , entonces la normal a este plano es $n \times d$ . Pero $PQ$ también se encuentra en el plano cuya normal es $n$ , por lo tanto, el vector de dirección de $PQ$ debe estar a lo largo del vector $(n \times d) \times n$

¿El hecho de que Q sea el pie de la perpendicular implica que el vector de dirección d atraviesa el plano que contiene el segmento PQ? ¿O la información dada sobre el pie de la perpendicular es irrelevante?
Ese plano es el plano que contiene el triángulo. $APQ$ por lo que está atravesado por $AP$ que está a lo largo del vector $d$ , y $AQ$ que está a lo largo $n$ .

ryang · Answer 3

Dejar $\alpha$ ser el ángulo entre ${\bf n}$ y ${\bf d},$ y $\beta$ ser el ángulo entre ${\bf n}$ y la perpendicular a ambos ${\bf n}$ y ${\bf d}.$

(\hat{norte} \times d) \times \hat{norte}

$( \hat{\bf n} \times {\bf d} ) \times \hat{\bf n}$

tiene magnitud
$(‖ \hat{norte} ‖ ‖ d ‖ | pecado α |) ‖ \hat{norte} ‖ | pecado β | = ‖ \hat{norte} ‖ (‖ d ‖ | pecado α |) ‖ \hat{norte} ‖ | pecado β | = (1) PAG q (1) | pecado 90^{\circ} | = PAG q;$ $\Big(\Vert\hat{\bf n}\Vert \,\Vert{\bf d}\Vert|\,\sin\alpha|\Big)\,\Vert\hat{\bf n}\Vert\,|\sin\beta|\\ =\Vert\hat{\bf n}\Vert \,\Big(\Vert{\bf d}\Vert|\,\sin\alpha|\Big)\,\Vert\hat{\bf n}\Vert\,|\sin\beta| \\=(1)\,PQ\,(1)\,|\sin90^\circ |\\=PQ;$
- es perpendicular a $\hat{\bf n},$
- y a la normal del plano atravesado por $\hat{\bf n}$ y ${\bf d},$ es decir, se encuentra en el plano atravesado por $\hat{\bf n}$ y ${\bf d};$
por lo tanto es colineal a $\vec{PQ}$ (que también es perpendicular a $\hat{\bf n}$ ).

¿Puede explicar cómo obtuvo la magnitud en el número 1? ¿Qué término dio PQ?
No, no voté negativamente ninguna respuesta. Después de dibujar el triángulo, entendí lo que querías decir. Gracias.

Usando el producto cruzado, encuentre el vector de dirección de la línea que une el punto de intersección de la línea y el plano y el pie de la perpendicular de la línea al plano.

Conejito

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Darshan P.

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Erín glorioso

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Erín glorioso

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Conejito

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