Demostrar que x,y y zx,y y zx,y \text{ y } z son lineales independientes si y sólo si x×y,x×z y y×zx×y,x×z y y×zx \times y, x \ times z \text{ y } y \times z son lineales independientes

Question

Demostrar que x,y y zx,y y zx,y \text{ y } z son lineales independientes si y sólo si x×y,x×z y y×zx×y,x×z y y×zx \times y, x \ times z \text{ y } y \times z son lineales independientes

vectores
Matemáticas
producto cruzado
álgebra lineal

Se necesita ayuda

Dejar $x,y,z \in{\mathbb R}^3$ . Muestra esa $x,y \text{ and } z$ son lineales independientes iff $x \times y, x \times z \text{ and } y \times z$ son lineales independientes. Dónde $\times$ denota el producto cruz en ${\mathbb R}^3.$

Hasta ahora solo he podido mostrar la implicación directa: Si $x,y,z$ son linealmente dependientes, entonces $x \times y, x \times z \text{ and } y \times z$ también son dependientes lineales.

Necesito ayuda con la implicación al revés: Si $x \times y, x \times z \text{ and } y \times z$ son linealmente independientes, entonces $x,y,z$ son lineales independientes

Agradecería alguna ayuda.

Respuestas (2)

Demostrar que x,y y zx,y y zx,y \text{ y } z son lineales independientes si y sólo si x×y,x×z y y×zx×y,x×z y y×zx \times y, x \ times z \text{ y } y \times z son lineales independientes

JG · Answer 1

Suponga que los productos cruzados son linealmente independientes. Suponer $ax+by+cz=0$ entonces $ax\times y + cz\times y =0$ . Por eso $a=c=0$ . Del mismo modo se puede probar $b=0$ . Dado que no hay opciones distintas de cero de $a,\,b,\,c$ trabajar, $x,\,y,\,z$ son linealmente independientes.

Donald balbuceo · Answer 2

\begin{array}{rcl} d mi t (\begin{array}{ccc} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} & a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} & a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \\ b_{2} C_{3} - b_{3} C_{2} & b_{3} C_{1} - b_{1} C_{3} & b_{1} C_{2} - b_{2} C_{1} \\ C_{2} a_{3} - C_{3} a_{2} & C_{3} a_{1} - C_{1} a_{3} & C_{1} a_{2} - C_{2} a_{1} \end{array}) = {(d mi t (\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ C_{1} & C_{2} & C_{3} \end{array}))}^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} det \left( \begin{array}{ccc} a_2 b_3-a_3 b_2 & a_3 b_1-a_1 b_3 & a_1 b_2-a_2 b_1 \\ b_2 c_3-b_3 c_2 & b_3 c_1-b_1 c_3 & b_1 c_2-b_2 c_1 \\ c_2 a_3-c_3 a_2 & c_3 a_1-c_1 a_3 & c_1 a_2-c_2 a_1 \\ \end{array} \right)=\left( det \left( \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{array} \right) \right)^2 \end{eqnarray*}$

Demostrar que x,y y zx,y y zx,y \text{ y } z son lineales independientes si y sólo si x×y,x×z y y×zx×y,x×z y y×zx \times y, x \ times z \text{ y } y \times z son lineales independientes

Se necesita ayuda

Respuestas (2)

JG

Donald balbuceo

¿El producto cruzado vectorial solo está definido para 3D?

Producto vectorial en dimensiones superiores

Prueba de que el determinante de una matriz de 3×33×33 \times 3 es el volumen del paralelepípedo atravesado por las columnas

¿Algo que falta en el producto triple cruzado?

Producto triple escalar: ¿por qué equivalente a determinante?

producto vectorial de álgebra lineal

Usando el producto cruzado, encuentre el vector de dirección de la línea que une el punto de intersección de la línea y el plano y el pie de la perpendicular de la línea al plano.

¿Por qué representamos cada columna por valores x e y en la imagen de columna de un sistema de ecuaciones lineales?

Operadores lineales que conservan la norma del producto cruzado

Encontrar PPP conociendo PQ−→−×b→PQ→×b→\overrightarrow{PQ}×\overrightarrow{b}, PQ−→−⋅c→PQ→⋅c→\overrightarrow{PQ}⋅\overrightarrow{c} , b→b→\overrightarrow{b}, y c→c→\overrightarrow{c}