¿Algo que falta en el producto triple cruzado?

En breve,$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})$no es lo mismo que$\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$, porque$\vec{a} \cdot \vec{c}$y$\vec{a} \cdot \vec{b}$son escaladores, no vectores.

Si$a$,$b$y$c$son escaladores, entonces

$b(a \cdot c) = b(ac) = bac = cab = c(ab) = c(a \cdot b)$

Pero no ocurre lo mismo con los vectores. Si hiciéramos lo mismo con los vectores (en este caso$\vec{a}$,$\vec{b}$y$\vec{c}$), entonces$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})$sería$\vec{b}$multiplicado por el escalador$\vec{a} \cdot \vec{c}$y$\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$sería lo mismo que$\vec{c}$multiplicado por$\vec{a} \cdot \vec{b}$. (Si no está seguro de por qué estos son escaladores, puede ver "Productos de puntos y dualidad | Capítulo 9, Esencia del álgebra lineal", un buen video de 3Blue1Brown o simplemente busque en Google la definición de productos de puntos).

Por lo tanto, no es cierto que$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$para todos los vectores$\vec{a}$,$\vec{b}$y$\vec{c}$, porque$\vec{b}$no es lo mismo que$\vec{c}$multiplicado por un escalador para todos$\vec{b}$y$\vec{c}$. (Para que quede claro, eso no quiere decir nada sobre si$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$se cumple para algunos valores de$\vec{b}$y$\vec{c}$, si$\vec{b}$era$\vec{c}$multiplicado por un escalador).

Su afirmación de que "$\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})$y$\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$son idénticos" es simplemente INCORRECTO! El primero es un vector en la misma dirección que$\vec{b}$y el segundo es un vector en la misma dirección que$\vec{a}$.