Operadores lineales que conservan la norma del producto cruzado

Note que un singular$T$no satisface la ecuación para todos$u$y$v$: Como hay un$u_0$con$Tu_0 = 0$y$\|u_0\| = 1$. Extender$u_0$a una base ortonormal$\{u_0, v, w\}$y lo consigues

$$\|Tu_0 \times Tv\| = 0 \ne 1 = \|u_0 \times v\|.$$ De este modo,$T$debe ser invertible.

para un invertible$T$tiene la siguiente identidad (cf wikipedia , o prueba en la página 11 ):

$$Tu\times Tv = (\det T)(T^{-1})^t(u\times v).$$

en bicicleta$u\times v$a través de$e_1,e_2,e_3$, obtienes que$M = (\det T)(T^{-1})^t$es ortogonal. en especial tenemos

$$\pm 1 = \det M = (\det T)^3 (\det T)^{-1} = (\det T)^2.$$ Eso es,$T$necesita ser una matriz ortogonal.

Ahora, asume$T$ser una matriz ortogonal. Luego, por cada$u,v$tenemos

$$\|Tu \times Tv\| = \|\pm 1 (T^t)^t (u \times v)\| = \|u\times v\|.$$ Es decir, también es suficiente que$T$es ortogonal.

Coincidentemente, alguien hizo una pregunta muy similar ayer. Dado que esa pregunta es más general y su formulación es algo diferente a la suya, daré una respuesta redactada de manera diferente a continuación.

Por la condición dada y la identidad de Lagrange , tenemos

$$\begin{aligned} \det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}T^\top T\pmatrix{u&v}\right] &=\det\left[\pmatrix{(Tu)^\top\\ (Tv)^\top}\pmatrix{Tu&Tv}\right]\\ &=\|T(u) \times T(v)\|^2\\ &=\|u \times v\|^2\\ &=\det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}\pmatrix{u&v}\right] \end{aligned}$$ para cada$u,v\in\mathbb R^3$. Desde$T^\top T$es semidefinido positivo, sus valores propios$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$son no negativos. Así que si$u$y$v$son dos autovectores ortonormales de$T^\top T$, la igualdad anterior implica que$\lambda_i\lambda_j=1$para cada$i\ne j$. Por lo tanto, tampoco$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$. Sucesivamente$T^\top T=I$, es decir$T$es ortogonal real.

Por el contrario, si$T$es ortogonal real, entonces

$$\begin{aligned} \|T(u) \times T(v)\|^2 &=\det\left[\pmatrix{(Tu)^\top\\ (Tv)^\top}\pmatrix{Tu&Tv}\right]\\ &=\det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}T^\top T\pmatrix{u&v}\right]\\ &=\det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}\pmatrix{u&v}\right]\\ &=\|u \times v\|^2. \end{aligned}$$

Si la norma es la inducida por el producto escalar cartesiano, puede escribir la norma en componentes cartesianos:

$$||u\times v||=\sqrt{\epsilon_{ijk}u_jv_k\epsilon_{imn}u_mv_n}$$

Luego usando la identidad

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$$

Tenemos

$$||u\times v||=\sqrt{u_iu_iv_jv_j-u_iv_iu_jv_j}$$

Si la transformación es lineal.

$$T(u)_i=R_{ij}u_j$$ entonces

$$||T(u)\times T(u)||=\sqrt{R_{ik}R_{im}R_{jp}R_{jq}(u_ku_mv_pv_q-u_kv_mu_pv_q)}$$

Para que esto sea igual a$||u\times v||$debe ser$R_{ik}R_{im}=\pm\delta_{km}$, que creo que se puede visualizar como$O(n)\times\mathbb Z_4$, como cualquier matriz ortogonal multiplicada por$\pm1,\pm i$haría el trabajo.

Editar: considerando que la aplicación es de$\mathbb R^3$en sí mismo solamente$O(n)$es suficiente