producto vectorial de álgebra lineal

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producto vectorial de álgebra lineal

vectores
Matemáticas
producto cruzado
álgebra lineal

mitch

Encuentra todos los vectores unitarios en el plano determinado por u =(3,0,1) y v =(1,-1,1) que son perpendiculares al vector w =(1,2,0).

¿Por qué no puedo resolver esto usando el siguiente método (y cuál es el mejor método usando el producto cruzado)?

$\mathbf{y} = a.\mathbf{u} + b.\mathbf{v} \qquad (a,b\in \Bbb{R})$

y me da cualquier punto en el plano.

$c.\mathbf{w} = \mathbf{v} \times \mathbf{y} \qquad (c\in \Bbb{R})$

El producto cruzado me da el vector perpendicular.

Encuentre y tal que a,b resuelva la ecuación anterior y luego divida por || y || Llegar $\mathbf{\hat y}$ . Lo he intentado 3 veces y cada vez llego a la respuesta sin sentido.

Vinícius Godim

No creo que necesites o debas usar el producto vectorial en este problema, ya que no se trata de un vector simultáneamente perpendicular a otros dos vectores. Se trata de un vector en el plano que es perpendicular a w, por lo que es mucho más sencillo usar el producto escalar. Encuentre las soluciones (a,b) que satisfacen <w,y> = 0. (2) Normalice su solución.

Respuestas (2)

producto vectorial de álgebra lineal

No creo que necesites o debas usar el producto vectorial en este problema, ya que no se trata de un vector simultáneamente perpendicular a otros dos vectores. Se trata de un vector en el plano que es perpendicular a w, por lo que es mucho más sencillo usar el producto escalar. Encuentre las soluciones (a,b) que satisfacen <w,y> = 0. (2) Normalice su solución.

usuario · Answer 1

Tenga en cuenta que $\vec v \times \vec y$ es perpendicular al plano pero $w$ no es por lo tanto su condición no puede tener solución.

No necesitamos producto cruzado sino producto escalar.

De hecho, tenga en cuenta que el vector genérico en el plano determinado por $\vec u$ y $\vec v$ son dados por

\vec{X} = a \vec{tu} + b \vec{v}

$\vec x= a\vec u + b \vec v$

con $a,b \in \mathbb{R}$ .

Por condición de perpendicularidad $\vec x \cdot \vec w=0$ obtenemos

\vec{X} \cdot \vec{w} = 0 \vec{X} \cdot \vec{w} = a \vec{tu} \cdot \vec{w} + b \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 ⟺ 3 a - b = 0 ⟺ b = 3 a

$\vec x \cdot \vec w=0\vec x \cdot \vec w =a\vec u \cdot \vec w+b\vec v \cdot \vec w=0\iff3a-b=0 \iff b=3a$

así todos los vectores en el plano determinado por $\vec u$ y $\vec v$ y perpendicular a $\vec w$ son

\vec{X} = a \vec{tu} + 3 a \vec{v} = a (6, - 3, 4)

$\vec x= a\vec u + 3a \vec v=a(6,-3,4)$

y los vectores unitarios correspondientes son

| \vec{X} | = a \sqrt{36 + 9 + dieciséis} = a \sqrt{61}

$|\vec x|=a\sqrt{36+9+16}=a\sqrt{61}$

\vec{y} = \pm \frac{\vec{X}}{| \vec{X} |} = \pm \frac{1}{\sqrt{61}} (6, - 3, 4)

$\vec y=\pm \frac{\vec x}{|\vec x|}=\pm\frac{1}{\sqrt{61}}(6,-3,4)$

usuario76568 · Answer 2

El conjunto de todas las perpendiculares a $w$ es $A=span\{(2,-1,0),(0,0,1)\}$ .

$span\{u,v\} \cap A=span\{u+3v\}$ .

Entonces $\pm \frac{u+3v}{||u+3v||}$

¡Gracias por la respuesta! ¿Qué método está usando para encontrar el lapso de todos los vectores perpendiculares a w y cómo encontró la intersección entre A y el lapso{u,v}?
Ojos saltones. Pero en serio: estamos en $\mathbb{R}^3$ . Hay uno, y sólo uno, plano al que $w$ es normal para. Cada una de las $2$ vectores de expansión en $A$ es perpendicular a $w$ por sí mismo, y por lo tanto todo el plano $A$ es el llano único $w$ es normal para. Ahora, ambos $u$ y $v$ no son perpendiculares por sí mismos a $w$ . Por lo tanto, su lapso no es $A$ ! Por lo tanto, su intersección debe tener una dimensión como máximo $1$ . Así que solo eliges una combinación lineal de $u,v$ que funciona y se extiende por la intersección. ¿Consíguelo?

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Vinícius Godim

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usuario76568

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usuario76568

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