Usando 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( A) en integrales de Feynman

Question

Usando 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( A) en integrales de Feynman

El novato

¿Están bien las siguientes operaciones? Esto está relacionado con el truco de los parámetros de Feynman.

F := \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{1 - X} d y \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} .

$F:= \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}.$ ahora usando

\frac{1}{A + i ϵ} = PAG V \frac{1}{A} - i π d (A),

$\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta(A),$ dónde

P V

$PV$ denota el valor principal de Cauchy, obtenemos (tomando solo la parte imaginaria):

ℑ F = - π \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{1 - X} d y d (F (X, y)) .

$\Im{F} = -\pi \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\, \delta(f(x,y)) .$

El problema que tengo es que los ceros de $f(x,y)$ que yo llamo $y^{\pm}$ parece estar fuera del rango de integración y, por lo tanto, el delta debería dar cero. PERO esto es lo divertido: cuando ignoro todo esto y solo realizo los cálculos formales (suponiendo que lo haga correctamente), a saber; reemplazando $\delta(f(x,y))$ con

\frac{1}{| \partial F / \partial y |_{y = y^{\pm}}} \times (d (y - y^{-}) + d (y - y^{+})), (1)

$\frac{1}{\bigl\vert \partial f/\partial y\bigr\vert_{y=y^{\pm}}}\times(\delta(y-y^-)+\delta(y-y^+)),\ \ \ (1)$

(dónde $|\partial f/\partial y|_\pm$ son iguales) y suponiendo que $y^{\pm}\in[0,1-x]$ (que parece ser falso) los dos deltas simplemente dan $1+1 = 2$ . Entonces el resultado parece ser correcto, o al menos concuerda con lo que he calculado usando un método totalmente diferente.

¿Podría ser todo esto solo una coincidencia? Quiero decir, ¿no deberían los deltas producir cero si $y^{\pm}\notin[0,1-x]$ , o estoy usando la fórmula incorrecta $(1)$ ?

david z

En realidad, ese es un título mucho mejor de lo que solemos tener. Más informativo y específico (hasta cierto punto) es generalmente mejor cuando se trata de títulos.

Miguel

ecuación (1) solo funciona si

| \partial f / \partial y |

$|\partial f/\partial y|$ es el mismo para los dos

y^{\pm}

$y^\pm$ , de lo contrario no podrá sacarlo de los soportes. No sé si esto ayuda a su problema.

steve byrnes

Para los lectores que no estén familiarizados con la ecuación del título de la pregunta, obtengan más información en esta página de Wikipedia :-D

El novato

Lo siento, debo agregar que es lo mismo para ambos.

qmecanico

@The Noob: si desea que la comunidad lo ayude a resolver su aparente paradoja, tendría que dar la forma explícita de

f (x, y)

$f(x,y)$ . En este momento, es difícil concluir algo más que lo que ya ha dicho usted en la formulación de la pregunta (v4).

Valter Moretti

@The Noob: si los ceros de

f

$f$ no pertenecen al dominio de integración y

f

$f$ es continuo al respecto, todo es fácil con su integral. Echa un vistazo a mi respuesta.

Doru Constantin

¿Son los ceros discretos (en

(x^{\pm}, y^{\pm})

$(x^{\pm},y^{\pm})$ ) o es

f

$f$ cero a lo largo de todas las líneas

y^{\pm}

$y^{\pm}$ ?! Lo que escribiste parece lo segundo...

qmecanico

Publicado de forma cruzada desde math.stackexchange.com/q/326896/11127

Respuestas (1)

Usando 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( A) en integrales de Feynman

En realidad, ese es un título mucho mejor de lo que solemos tener. Más informativo y específico (hasta cierto punto) es generalmente mejor cuando se trata de títulos.
ecuación (1) solo funciona si $|\partial f/\partial y|$ es el mismo para los dos $y^\pm$ , de lo contrario no podrá sacarlo de los soportes. No sé si esto ayuda a su problema.
Para los lectores que no estén familiarizados con la ecuación del título de la pregunta, obtengan más información en esta página de Wikipedia :-D
@The Noob: si desea que la comunidad lo ayude a resolver su aparente paradoja, tendría que dar la forma explícita de $f(x,y)$ . En este momento, es difícil concluir algo más que lo que ya ha dicho usted en la formulación de la pregunta (v4).
@The Noob: si los ceros de $f$ no pertenecen al dominio de integración y $f$ es continuo al respecto, todo es fácil con su integral. Echa un vistazo a mi respuesta.
¿Son los ceros discretos (en $(x^{\pm},y^{\pm})$ ) o es $f$ cero a lo largo de todas las líneas $y^{\pm}$ ?! Lo que escribiste parece lo segundo...
Publicado de forma cruzada desde math.stackexchange.com/q/326896/11127

Valter Moretti · Answer 1

si estas seguro de que $f$ es continua y no desaparece en el dominio de integración, de ninguna manera es necesario hacer uso de la teoría de regularización de distribuciones. Considere la integral inicial:

F := \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{1 - X} d y \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} .

$F:= \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}.$ Se puede reescribir como:

F := \int_{T} \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} d X d y,

$F:= \int_{T} \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{d}x\mathrm{d}y,$ dónde

T

$T$ es el triangulo cerrado:

T := {(X, y) \in [0, 1] \times [0, 1] | 0 \leq y \leq 1 - X} .

$T := \{(x,y) \in [0,1]\times [0,1] \:|\: 0 \leq y \leq 1-x\}\:.$

Si $f(x,y)$ es continua en $T$ y no desaparece en él, la función

[0, 1] \times T ∋ (ϵ, X, y) \mapsto | \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} |

$[0,1]\times T \ni (\epsilon, x,y) \mapsto \left|\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}\right|$ es continua y por lo tanto acotada. llamemos

M \geq 0

$M\geq 0$ su máximo. Podemos concluir que

| \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} | \leq METRO para cada ϵ \in [0, 1] y (X, y) \in T .

$\left|\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}\right| \leq M\quad \mbox{for every $\epsilon \in [0,1]$ and $(x,y)\in T$.}$ Como

T

$T$ tiene medida finita, la función constante

T ∋ (x, y) \mapsto M

$T \ni (x,y) \mapsto M$ tiene integral finita. Podemos así aplicar el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue , que permite intercambiar el símbolo de límite por el de integral y quedando así:

\underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{1 - X} d y \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} = \int_{T} \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{F (X, y) + i ϵ} d X d y = \int_{T} \frac{1}{F (X, y)} d X d y

$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} = \int_T \lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_T \frac{1}{f(x,y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Obviamente, en mi respuesta, supuse $f$ ser realmente valorado.

Usando 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( A) en integrales de Feynman

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