Deltas de Dirac locos

Question

Deltas de Dirac locos

Perdedor

No espero ningún rigor en lo siguiente y las respuestas... ya que estamos tratando con deltas de Dirac en el contexto de QFT.

Considere la integral

\int d^{4} q Θ (q_{0}) Θ ({pag}_{3, 0} + q_{0}) d (({pag}_{3} + q)^{2}) d ((q^{2})) \frac{1}{(q + {pag}_{2})^{2} - {metro}^{2} + i ϵ}

$\int d^4q\ \Theta(q_0)\Theta(p_{3,0}+q_0)\ \delta((p_3+q)^2)\delta((q^2))\frac{1}{(q+p_2)^2-m^2+i\epsilon}$

El $p$ 'arena $q$ son todos los 4 vectores de Minkowski y $\ p_3=p_1+p_2$ . Por simplicidad se puede trabajar en el $p_3$ CM-Marco para que $\ p_3 =(M, \vec{0})$ .

tengo problema con los deltas (ya que van acoplados), estaba pensando en el $q_0$ integración primero , ¿cómo procederían ustedes haciendo el $q_0$ -¿integración?. Utilizo la fórmula de composición para Dirac delta Dirac Delta Comp. Wikipedia , pero cuando reemplazo $q_0$ en el argumento del otro delta obtengo algo como $\delta(M)$ dónde $M$ es la masa de $p_3$ . Este delta no tiene sentido para mí ya que ni siquiera nos estamos integrando $M$ ? ¿Alguien sabe cómo hacer esta integral desde el principio? Cualquier pista apreciada, gracias.

Vibert

Ya hay algunas simplificaciones aquí. En el marco CM que propones, incluyendo tanto

Θ [(p_{3})_{0} + q_{0}] = Θ [M + q_{0}]

$\Theta[ (p_3)_0 + q_0 ] = \Theta[ M + q_0]$ y

Θ (q_{0})

$\Theta(q_0)$ es redundante

Perdedor

Bien, pero si nos olvidamos de las Thetas, ¿cómo procederías al hacer las integrales q_0? Los deltas están acoplados y realmente no sé qué hacer.

Vibert

La segunda función delta te dice que

q_{0} = \pm | q |

$q_0 = \pm |\mathbf{q}|$ , y debido a Heaviside, solo es posible el signo +. Debido pensar en la regla de la cadena:

δ (f (x)) = \dots

$\delta(f(x)) = \ldots$ al trabajar esto.

Perdedor

Sí, así es exactamente como lo hago... y luego, cuando conecto este q_0 positivo en el argumento del segundo delta, obtengo el extraño resultado delta(M). Tal vez no debería conectar esto. Lástima que estas operaciones son realmente onduladas y nunca las he visto definidas correctamente, desafortunadamente. Por ejemplo, en Srednicki Capítulo 10 (si no recuerdo mal) usa

δ (x)^{2} = δ (x) \cdot δ (0)

$\delta(x)^2 = \delta(x)\cdot\delta(0)$ etc...

Perdedor

Srednicki ecuación. 11.13 por ejemplo: ' web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf

usuario12345

Considere un título más apropiado.

Respuestas (1)

Deltas de Dirac locos

Ya hay algunas simplificaciones aquí. En el marco CM que propones, incluyendo tanto $\Theta[ (p_3)_0 + q_0 ] = \Theta[ M + q_0]$ y $\Theta(q_0)$ es redundante
Bien, pero si nos olvidamos de las Thetas, ¿cómo procederías al hacer las integrales q_0? Los deltas están acoplados y realmente no sé qué hacer.
La segunda función delta te dice que $q_0 = \pm |\mathbf{q}|$ , y debido a Heaviside, solo es posible el signo +. Debido pensar en la regla de la cadena: $\delta(f(x)) = \ldots$ al trabajar esto.
Sí, así es exactamente como lo hago... y luego, cuando conecto este q_0 positivo en el argumento del segundo delta, obtengo el extraño resultado delta(M). Tal vez no debería conectar esto. Lástima que estas operaciones son realmente onduladas y nunca las he visto definidas correctamente, desafortunadamente. Por ejemplo, en Srednicki Capítulo 10 (si no recuerdo mal) usa $\delta(x)^2 = \delta(x)\cdot\delta(0)$ etc...
Srednicki ecuación. 11.13 por ejemplo: ' web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf

Miguel · Answer 1

Estoy recibiendo cero.

Usando $p_{3,0}=M$ y suponiendo $M>0$ el $\Theta(p_{3,0}+q_0)$ factor es redundante y usted tiene:

\int d^{4} q Θ (q_{0}) d (({pag}_{3} + q)^{2}) d (q^{2}) \frac{1}{(q + {pag}_{2})^{2} - {metro}^{2} + i ϵ}

$\int d^4q\ \Theta(q_0)\ \delta((p_3+q)^2)\delta(q^2)\frac{1}{(q+p_2)^2-m^2+i\epsilon}$

Ahora

\begin{array}{lcl} d (({pag}_{3} + q)^{2}) d (q^{2}) & = & d ((METRO + q_{0})^{2} - {\vec{q}}^{2}) d (q_{0}^{2} - {\vec{q}}^{2}) \\ = & d ((METRO + | \vec{q} |)^{2} - {\vec{q}}^{2}) d (q_{0}^{2} - {\vec{q}}^{2}) \\ = & d ({METRO}^{2} + 2 METRO | \vec{q} |) d (q_{0}^{2} - {\vec{q}}^{2}) \\ = & \frac{1}{2 METRO} d (| \vec{q} | + METRO / 2) d (q_{0}^{2} - {\vec{q}}^{2}) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \delta((p_3+q)^2)\delta(q^2) &=& \delta((M+q_0)^2 - \vec{q}^2)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2)\\ &=& \delta((M+|\vec{q}|)^2 - \vec{q}^2)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2) \\ &=& \delta(M^2+2M|\vec{q}|)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2)\\ &=& \frac{1}{2M}\delta(|\vec{q}|+M/2)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2)\\ \end{array}$

La primera línea simplemente se sustituye. La segunda línea usa $q_0 = +|\vec{q}|$ debido a la segunda función delta y la función theta. La tercera línea simplemente se expande y simplifica en el primer delta. La última línea es la identidad de la regla de la cadena para la función delta.

Ahora el $\delta(|\vec{q}|+M/2)$ solo tiene soporte para negativo $|\vec{q}|$ lo cual es una clara tontería, por lo que la integral es cero. Si tuvieras $p_3 - q$ en la integral original en lugar de $p_3 + q$ obtendría una respuesta distinta de cero.

En general puedes usar $\delta(x - a) \delta(x - b) = \delta(x-a) \delta(a-b)$ ya que el primer delta mata la integral en todas partes excepto $x=a$ . Si tienes $a=b$ usted obtiene $\delta(x-a)^2=\delta(x-a) \delta(0)$ y el $\delta(0)$ necesita ser definido por alguna prescripción, como poner el sistema en la caja.

Mi error fue que NO reemplacé el q_0 inmediatamente, sino que lo reemplacé DESPUÉS de haber escrito el segundo delta en forma de composición... esto está mal, no se puede hacer eso. Uno debe reemplazar inmediatamente, tal como lo hizo Michael Brown.

Deltas de Dirac locos

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Vibert

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usuario12345

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Miguel

Perdedor

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