Unidades de una transformada de Fourier discreta

La fórmula para$N$-DFT debe ser:

$$\tilde{F}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{f}[n]\exp(-2\pi ikn/N),$$

dónde$\tilde{f}[n]$es la entrada discreta y$\tilde{F}[k]$es la salida de frecuencia discreta. Uno puede escalar opcionalmente por$N^{-1/2}$.

Los índices$n$y$k$son adimensionales. Generalmente$\tilde{f}[n]$se obtiene de$f(x)$por muestreo, lo que implica elegir el período de la muestra$X$(misma unidad que$x$), y extrayendo$\tilde{f}[n] = f(nX)$. Desde$nX$tiene la unidad de$X$, entonces$n$no tiene unidad.

Comparación de FT continuo$\mathscr{F}\{f\}$y la "aproximación DFT" es espinosa porque se debe considerar la discretización y el preprocesamiento. Si muestreamos por$\tilde{f}[n] = f(nX)$, entonces se descartan los siguientes datos:

• $f(x)$para$x < 0$y$x > (N-1)X$,
• $f(x)$entre puntos de muestra$x = 0$,$x = X$, ...,$x = (N-1)X$.

Trabajando enteramente en dominio continuo, esto corresponde a multiplicar$f(x)$por un$c(x)$: un "peine" que consta de funciones delta desplazadas:

$$c(x) = \sum_{n=0}^{N-1} \delta(x-nX).$$

Por lo tanto (ignorando la escala), DFT en datos muestreados implica:

1. Informática$\mathscr{F}\{f \times c\}$,
2. Muestreo del resultado a frecuencias discretas. Para encontrar estos,$\tilde{F}[k]$corresponde al periodo$\frac{NX}{k}$, entonces la frecuencia angular es$\omega = \frac{2\pi k}{NX}$. Tenga en cuenta que aquí$k$es adimensional, y el factor$\frac{2\pi}{NX}$tiene dimensión de$x^{-1}$(Editar: esto supone$k < N/2$; si$k > N/2$debemos considerar frecuencias negativas$k - N$).

Del teorema de convolución,$\mathscr{F}\{f(x) \times c(x)\}$es proporcional a la convolución de$\mathscr{F}\{f\}$y$\mathscr{F}\{c\}$. Por lo tanto$\mathscr{F}\{c\}$Actúa para distorsionar lo deseado.$\mathscr{F}\{f\}$.

Mediante inspección,$\mathscr{F}\{c\}$consiste en sumas de exponenciales complejos con frecuencias que ocurren en intervalos regulares. Trazado en Wolfram Alpha (p. ej.,$\mathtt{abs(1+exp(ix)+exp(2ix)+exp(3ix))}$) vemos que esto tiene picos periódicos a partir de$\omega = 0$. Queremos que esto sea lo más cercano a$\delta(\omega)$como sea posible, y puede hacer lo siguiente para mejorar los resultados (SUPUESTOS$f(x)$tiene un ancho de banda finito, es decir,$\mathcal{F}(f)$cae a alta frecuencia).

• Aumentar el número de muestras$N$: esto "afila" los picos de$\mathscr{F}\{c\}$. De hecho, en el límite, la FT de un tren delta infinito es otro tren delta infinito.
• Disminuir el intervalo de muestreo$X$: esto aumenta la distancia entre los picos. Con la suposición de ancho de banda finito, después de la convolución, las frecuencias de muestreo aún producirían resultados bastante buenos.
• Procesamiento de señal adicional activado$f(x)$(más allá de mi alcance).

(Editar: gramática fija y redacción redundante).

Para obtener un límite

$$f_k=\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp\left(-2\pi i k x\right) dx$$ a partir de una transformada discreta de Fourier, en realidad debe ver lo que quiere decir con la fórmula $$f_k=\sum_{i=-N/2}^{N/2}f_i \exp\left(-2\pi i k x_i\right).\;\; (*)$$ Esta fórmula está tomando muestras de paso indeterminado en el $x$dirección y no convergerá a una transformada de Fourier solo por $N\to\infty$. Para converger, también debes suavizar tu paso y no olvidar entrar en $-\infty$, eso es ( $i$es un índice confuso con el imaginario $i$también ocurre, usemos $j$) $$f_k=\Delta x\sum_{j=-\infty}^{\infty}f_j \exp\left(-2\pi i k (j \Delta x)\right).$$ Y enviar $\Delta x$a cero. El factor anterior es necesario porque, de lo contrario, su $f_k$divergiría. O puede entenderlo en la forma en que las muestras deben pesarse con respecto a la muestra original al volverse más fina. Puedes ver fácilmente que para $[k]=1$, $[\Delta x]=[x]$y este es exactamente el factor correspondiente a $dx$en el FT continuo.

en la fórmula$(*)$, si toma cualquier otro paso que no sea el paso de dimensión unitaria, no daría una buena aproximación numérica a la FT continua. Por ejemplo, para un paso de media unidad, el valor numérico de$f_k$sería aproximadamente el doble de la de$f(k)$. Creo que esto ilustra quizás con mayor fuerza por qué el paso$\Delta x$tiene que estar delante de la DFT para dar una aproximación real.

---

(Esta publicación ha sido revisada bastante).

Está asumiendo erróneamente que una secuencia debe tener exactamente la misma unidad para ser considerada la aproximación de una señal. En general, una secuencia$f_k$puede considerarse como una aproximación de$f(x)$si$f_k=\int^{x_{k+1}}_{x_k} f(x) dx$. Claramente las unidades difieren aquí.

Tenga en cuenta que por esta regla,$f_k=0$es una aproximación de$f(x)=0$,$c*f_k$es una aproximación de$c*f(x)$, y$f_k+g_k$es una aproximación de$f(x)+g(x)$.