¿Cómo invierte las unidades la transformada de Fourier?

si te integras

$$\int f(x)\textrm{d}x = F$$ entonces $F$tiene las unidades de $f$veces las unidades de $x$.

Del mismo modo, si diferencia,

$$\frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}$$ tiene unidades de $f$dividido por unidades de $x$.

Si observa el ejemplo simple de integrar y diferenciar con respecto al tiempo para ir entre la posición, la velocidad y la aceleración, verá que esto funciona. Por ejemplo, diferencie la posición (metros) con respecto al tiempo (segundos) para obtener la velocidad$(\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}})$.

Si tienes una función de tiempo y la transformas por Fourier, y luego realizas la inversa

$$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{-i\omega t}\textrm{d}\omega$$ debe tener las mismas unidades en ambos lados. $\omega$tiene unidades de $\textrm{s}^{-1}$(y entonces $\textrm{d}\omega$tiene lo mismo) y $e^{-i\omega t}$es adimensional. Eso significa $F$debe tener las mismas unidades que $f$, pero multiplicado por $\textrm{s}$. Entonces, la transformada de Fourier de una serie de tiempo no tiene unidades de frecuencia. En realidad, tiene unidades de frecuencia inversa agregadas, de modo que cuando lo multiplicamos por una frecuencia, obtenemos las mismas unidades con las que comenzamos. Por ejemplo, si $f$está midiendo voltios, $F$tiene unidades de voltios-segundos. Tenga en cuenta que no estamos transformando las unidades de $t$y $\omega$en absoluto. Estamos eligiendo expresar una función ya sea en términos de tiempo o en términos de frecuencia, y luego averiguamos qué unidades siguen.

Sí, las transformadas de Fourier se pueden aplicar a los datos además de las series temporales. Por ejemplo, podemos transformar un patrón espacial mediante la transformación de Fourier para expresarlo en el espacio de números de onda, es decir, podemos expresar cualquier función del espacio como una suma de ondas planas. Físicamente, esta transformada de Fourier se realiza (por ejemplo) mediante una rejilla de difracción, que transforma por Fourier el patrón espacial de la rejilla.

Creo que la transformada de Fourier transforma las unidades como una integral: agrega la unidad de lo que sea que estés integrando a las unidades de la función que se está integrando. Si estamos integrando$G \textrm{d}x$entonces las unidades son las unidades de$G$veces las unidades de$x$.

Para una transformada de Fourier, estamos integrando a lo largo del tiempo, por lo que nuestra función tiene unidades de lo que sea que tenía, multiplicado por el tiempo. Es una función de la frecuencia, pero eso no significa que la transformada tenga unidades de frecuencia. como si$G$era una función de posición en función del tiempo, tiene unidades de posición, no de tiempo.

El Fourier inverso es una integral sobre la frecuencia. Así que deshacemos esa multiplicación de unidades y volvemos a nuestras unidades originales.