¿Cuál es la unidad (dimensión) de la función de onda del espacio de posición tridimensional ΨΨ\Psi de un electrón?

La interpretación física de la función de onda es que$|\psi(\vec r)|^2dV$da la probabilidad de encontrar el electrón en una región de volumen$dV$alrededor de la posición$\vec r$. La probabilidad es una cantidad adimensional. Por eso$|\psi(\vec r)|^2$debe tener una dimensión de volumen inverso y$\psi$tiene dimensión$L^{-3/2}$.

Piénsalo, su cuadrado integrado sobre un volumen (que se multiplica por volúmenes infinitesimales y se suma sobre todos esos volúmenes) es un número puro ("probabilidad de encontrar la partícula en ese volumen") por lo tanto$(\text{wave function})^2 \cdot (\text{Length})^3 = (\text{adimensional quantity})$

Así, el cuadrado de la función de onda tiene la dimensión de un$(\text{Length})^{-3}$. Entonces, la función de onda es, dimensionalmente, una$(\text{Length}) ^{-3/2}$

La integral tridimensional del cuadrado estándar de la función de onda es una probabilidad, por lo que debe ser adimensional. Por lo tanto$\text{length}^3[\psi]^2=1$, entonces$[\psi]=\text{length}^{-3/2}$.

La función de onda de un electrón no significa nada en sí misma. Lo único útil que podemos obtener de él es la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen), que es el cuadrado de su amplitud. En términos de unidades SI, la probabilidad no tiene unidad y el volumen tiene (metro)^3. Entonces, la unidad de la función de onda (√probabilidad/√volumen) será (metro^-3/2).