Unicidad de las conexiones afines

La forma estándar de obtener los coeficientes de una conexión métrica compatible es la siguiente. En primer lugar, exigimos que

$$\nabla_\mu g_{ab} = 0$$ para todos$\mu,a,b$. Reemplazando los coeficientes de conexión nos da que $$\nabla_\mu g_{ab} = \partial_\mu g_{ab} - \Gamma^i_{a\mu} g_{ib} - \Gamma^i_{b\mu} g_{ai}=0$$ A continuación, permutamos los índices para obtener dos ecuaciones adicionales: $$\nabla_b g_{\mu a} = \partial_b g_{\mu a} - \Gamma^i_{\mu b} g_{ia} - \Gamma^i_{ab} g_{\mu i}=0$$ $$\nabla_a g_{b\mu} = \partial_a g_{b\mu} - \Gamma^i_{ba} g_{i\mu} - \Gamma^i_{\mu a} g_{bi}=0$$

Para una elección dada de$(\mu,a,b)$, aquí tenemos tres ecuaciones con seis incógnitas (los coeficientes de conexión). Sin embargo, podemos seguir adelante. Sumando la segunda y la tercera ecuación juntas y restando la primera se obtiene

$$\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big) + 2\Gamma^i_{[a\mu]}g_{bi} + 2\Gamma^i_{[b\mu]}g_{ai} - 2\Gamma^i_{(ab)}g_{\mu i} = 0$$ dónde$\Gamma^i_{[ab]} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^i_{ab} - \Gamma^i_{ba}\right)$y$\Gamma^i_{(ab)} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^i_{ab} + \Gamma^i_{ba}\right)$.

Esto se puede reorganizar para producir (utilizando la simetría de$g$)

$$\Gamma^i_{(ab)} = \frac{1}{2}g^{i\mu}\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big) + \Gamma^i_{[a\mu]} + \Gamma^i_{[b\mu]}$$

Esto es todo lo que se puede obtener exigiendo que la conexión sea métricamente compatible. Necesitamos más información para obtener la conexión de forma única. Si exigimos que la conexión sea libre de torsión (es decir, simétrica en sus dos índices inferiores), entonces los dos términos de conexión de la derecha desaparecen y el lado izquierdo simplemente se convierte en$\Gamma^\mu_{ab}$, y entonces

$$\Gamma^i_{ab} = \frac{1}{2}g^{i\mu}\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big)$$

determina de forma única los coeficientes de conexión de la métrica. Esta es la conexión Levi-Civita. Cualquier otra conexión compatible con la métrica puede tener torsión en el sentido de que una conexión$\Gamma$puede ser escrito

$$\Gamma^i_{jk} = \overline{\Gamma}^i_{jk} + K^i_{jk}$$

dónde$\overline{\Gamma}$es la conexión Levi-Civita y$K$es el llamado tensor de contorsión .