Problema al subir/bajar índices en derivada covariante [cerrado]

Question

Problema al subir/bajar índices en derivada covariante [cerrado]

mono

no puedo mostrar eso $\nabla_{a}V^{a}=g^{ac}\nabla_{a}V_{c}$ (Sumo índices latinos de $0$ a $3$ ) para la métrica de De Sitter:

gramo = \frac{1}{H^{2} η^{2}} (- 1, 1, 1, 1) .

$g=\frac{1}{H^2\eta^2}(-1,\:1,\:1,\:1).$ Para esa métrica, los únicos símbolos de Christoffel distintos de cero son:

Γ_{00}^{0} = Γ_{i i}^{0} = Γ_{0 i}^{i} = Γ_{i 0}^{i} = - \frac{1}{η},

$\Gamma^{0}_{00}=\Gamma^{0}_{ii}=\Gamma^{i}_{0i}=\Gamma^{i}_{i0}=-\frac{1}{\eta},$ dónde

i \in {1, 2, 3}

$i\in\{1,2,3\}$ (no sumamos

i

$i$ aquí y también abajo). Para obtener

\nabla_{a} V^{a}

$\nabla_{a}V^{a}$ He calculado:

\nabla_{0} V^{0} = \partial_{0} V^{0} + Γ_{d 0}^{0} V^{d} = \partial_{0} V^{0} + Γ_{00}^{0} V^{0} = \partial_{0} V^{0} - \frac{1}{η} V^{0}

$\nabla_{0}V^{0}=\partial_{0}V^{0}+\Gamma^{0}_{d0}V^{d}=\partial_{0}V^{0}+\Gamma^{0}_{00}V^{0}=\partial_{0}V^{0}-\frac{1}{\eta}V^{0}$

\nabla_{i} V^{i} = \partial_{i} V^{i} + Γ_{d i}^{i} V^{d} = \partial_{i} V^{i} + Γ_{0 i}^{i} V^{0} = \partial_{i} V^{i} - \frac{1}{η} V^{0}

$\nabla_{i}V^{i}=\partial_{i}V^{i}+\Gamma^{i}_{di}V^{d}=\partial_{i}V^{i}+\Gamma^{i}_{0i}V^{0}=\partial_{i}V^{i}-\frac{1}{\eta}V^{0}$ Así que finalmente tengo

\nabla_{a} V^{a} = \partial_{a} V^{a} - \frac{4}{η} V^{0}

$\nabla_{a}V^{a}=\partial_{a}V^{a}-\frac{4}{\eta}V^{0}$ . Para la métrica diagonal tenemos

g^{a c} \nabla_{a} V_{c} = g^{a a} \nabla_{a} V_{a}

$g^{ac}\nabla_{a}V_{c}=g^{aa}\nabla_{a}V_{a}$ , entonces he calculado:

{gramo}^{00} \nabla_{0} V_{0} = {gramo}^{00} (\partial_{0} V_{0} - Γ_{00}^{d} V_{d}) = {gramo}^{00} (\partial_{0} V_{0} - Γ_{00}^{0} V_{0}) = {gramo}^{00} (\partial_{0} V_{0} + \frac{1}{η} V_{0}) = {gramo}^{00} \partial_{0} V_{0} - H^{2} η^{2} \frac{1}{η} V_{0} = {gramo}^{00} \partial_{0} V_{0} - H^{2} η V_{0}

$g^{00}\nabla_{0}V_{0}=g^{00}(\partial_{0}V_{0}-\Gamma^{d}_{00}V_{d})=g^{00}(\partial_{0}V_{0}-\Gamma^{0}_{00}V_{0})=g^{00}\left(\partial_{0}V_{0}+\frac{1}{\eta}V_{0}\right)=g^{00}\partial_{0}V_{0}-H^2\eta^2\frac{1}{\eta}V_{0}=g^{00}\partial_{0}V_{0}-H^2\eta V_{0}$

{gramo}^{i i} \nabla_{i} V_{i} = {gramo}^{i i} (\partial_{i} V_{i} - Γ_{i i}^{d} V_{d}) = {gramo}^{i i} (\partial_{i} V_{i} - Γ_{i i}^{0} V_{0}) = {gramo}^{i i} (\partial_{i} V_{i} + \frac{1}{η} V_{0}) = {gramo}^{i i} \partial_{i} V_{i} + H^{2} η^{2} \frac{1}{η} V_{0} = {gramo}^{i i} \partial_{i} V_{i} + H^{2} η V_{0}

$g^{ii}\nabla_{i}V_{i}=g^{ii}(\partial_{i}V_{i}-\Gamma^{d}_{ii}V_{d})=g^{ii}(\partial_{i}V_{i}-\Gamma^{0}_{ii}V_{0})=g^{ii}\left(\partial_{i}V_{i}+\frac{1}{\eta}V_{0}\right)=g^{ii}\partial_{i}V_{i}+H^2\eta^2\frac{1}{\eta}V_{0}= g^{ii}\partial_{i}V_{i}+H^2\eta V_{0}$ Y en un resultado:

{gramo}^{a a} \nabla_{a} V_{a} = {gramo}^{a a} \partial_{a} V_{a} - H^{2} η V_{0} + 3 H^{2} η V_{0} = {gramo}^{a a} \partial_{a} V_{a} + 2 H^{2} η V_{0} = \partial_{a} V^{a} + 2 H^{2} η V^{d} {gramo}_{d 0} = \partial_{a} V^{a} + 2 H^{2} η V^{0} {gramo}_{00} = \partial_{a} V^{a} + 2 H^{2} η (- \frac{1}{H^{2} η^{2}}) V^{0} = \partial_{a} V^{a} - \frac{2}{η} V^{0},

$g^{aa}\nabla_{a}V_{a}=g^{aa}\partial_{a}V_{a}-H^2\eta V_{0}+3H^2\eta V_{0}=g^{aa}\partial_{a}V_{a}+2H^2\eta V_{0}=\partial_{a}V^{a}+2H^2\eta V^{d}g_{d0}=\partial_{a}V^{a}+2H^2\eta V^{0}g_{00}=\partial_{a}V^{a}+2H^2\eta\left(-\frac{1}{H^2\eta^2}\right)V^{0}=\partial_{a}V^{a}-\frac{2}{\eta}V^{0},$ así que tengo

\nabla_{a} V^{a} \neq g^{a c} \nabla_{a} V_{c}

$\nabla_{a}V^{a}\neq g^{ac}\nabla_{a}V_{c}$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

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JG · Answer 1

Primero usemos un tercer método para saber cuál de los dos primeros para calcular la divergencia salió mal: define $g:=\det g_{ab}=-(H\eta)^{-8}$ entonces

\nabla_{a} V^{a} = \frac{1}{\sqrt{| gramo |}} \partial_{a} (\sqrt{| gramo |} V^{a}) = \partial_{a} V^{a} + V^{a} \partial_{a} en \sqrt{| gramo |} = \partial_{a} V^{a} - \frac{4}{η} V^{0} .

$\nabla_aV^a=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_a\left(\sqrt{|g|}V^a\right)=\partial_aV^a+V^a\partial_a\ln\sqrt{|g|}=\partial_aV^a-\tfrac{4}{\eta}V^0.$ Esto al menos nos dice que ninguno de los símbolos de Christoffel que no desaparecen debería haber sido en su lugar

+ \frac{1}{η}

$+\tfrac{1}{\eta}$ . El problema con el que te has encontrado es

\partial_{a} V^{a} \neq g^{a c} \partial_{a} V_{c}

$\partial_aV^a\ne g^{ac}\partial_aV_c$ ; o, con más detalle,

\begin{aligned} {gramo}^{a C} \nabla_{a} V_{C} & = {gramo}^{a C} \partial_{a} V_{C} - {gramo}^{a C} Γ_{a C}^{b} V_{b} \\ = \partial_{a} ({gramo}^{a C} V_{C}) - V_{C} {gramo}_{, a}^{a C} - {gramo}^{a C} Γ_{a C}^{b} V_{b} \\ = \partial_{a} V^{a} - V_{C} {gramo}_{, a}^{a C} - {gramo}^{a C} Γ_{a C}^{b} V_{b}, \end{aligned}

$\begin{align}g^{ac}\nabla_aV_c&=g^{ac}\partial_aV_c-g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b\\&=\partial_a(g^{ac}V_c)-V_cg^{ac}_{,\,a}-g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b\\&=\partial_aV^a-V_cg^{ac}_{,\,a}-g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b,\end{align}$ entonces solo necesitamos verificar

V_{C} {gramo}_{, a}^{a C} + {gramo}^{a C} Γ_{a C}^{b} V_{b} = \frac{4}{η} V^{0} = - 4 H^{2} η V_{0} .

$V_cg^{ac}_{,\,a}+g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b=\tfrac{4}{\eta}V^0=-4H^2\eta V_0.$ Su cálculo en realidad solo consideró

{gramo}^{a C} Γ_{a C}^{b} V_{b} = ({gramo}^{00} Γ_{00}^{0} + \sum_{i} {gramo}^{i i} Γ_{i i}^{0}) V_{0} = - 2 H^{2} η V_{0} .

$g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b=\left(g^{00}\Gamma_{00}^0+\sum_ig^{ii}\Gamma_{ii}^0\right)V_0=-2H^2\eta V_0.$ Pero

V_{C} {gramo}_{, a}^{a C} = V_{0} {gramo}_{, 0}^{00} = - 2 H^{2} η V_{0} .

$V_cg^{ac}_{,\,a}=V_0g^{00}_{,\,0}=-2H^2\eta V_0.$

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mono

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JG

mono

¿Cómo puedo hacer que dos ecuaciones separadas para los símbolos de Christoffel den la misma respuesta?

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