Una secuencia convergente {an}{an}\{a_n\} y una secuencia divergente {bn}{bn}\{b_n\} tal que {an+bn}{an+bn}\{a_n+b_n\} es convergente

Dé un ejemplo de una sucesión convergente { a norte } y secuencia divergente { b norte } tal que { a norte + b norte } es una serie convergente.

He estado tratando de resolver esta pregunta durante un par de días y he estado luchando, si alguien pudiera darme una pista o mostrarme cómo obtuviste tu respuesta, ya que siento que esto no tiene solución, pero la pregunta dice que debo tener un ejemplo. Gracias de antemano, estudiante de matemáticas :)

¿Quién te preguntó eso? Es poco probable que encuentre un ejemplo, no es posible.
Como lo señaló Nayuki, su título y cuerpo están haciendo preguntas sutiles pero crucialmente diferentes. ¿Se supone que la suma es una secuencia convergente o una serie convergente ? (Y para el caso, ¿qué pasa con { a norte } y { b norte } ?)
Aún debe decidir si quiere decir "secuencia" o "serie"; Simplemente mejoré tu LaTeX y el título.

Respuestas (3)

Asumir a norte + b norte converge Desde a norte converge, a norte + b norte − a norte converge, contradiciendo el hecho de que b norte no converge.

¿Su respuesta tiene en cuenta el hecho de que en la pregunta, a norte es una secuencia convergente , b norte es una sucesión divergente y a norte + b norte es una serie convergente ?
@Nayuki Si por serie convergente quiere decir que la serie terminó a norte + b norte , es decir ∑ i = 1 ∞ ( a i + b i ) , converge, entonces esto implica que la sucesión ( a norte + b norte ) converge
{ a norte },{ b norte }, y { a norte + b norte } son todas las secuencias, lo siento por dejar eso fuera

Esto no es posible. Supongamos que lo fuera, entonces tenemos una sucesión convergente a norte + b norte , y a norte . Sabemos que la diferencia de sucesiones convergentes es en sí misma convergente. Esto significa que si a norte + b norte converge, y a norte converge, entonces a norte + b norte − a norte converge, pero esto significa que b norte es convergente, lo que contradice nuestra hipótesis, así que no, esto no se puede hacer.

Sin embargo, puede hacer que dos secuencias divergentes sumen una convergente. Sólo toma a norte = ( norte ) y b norte = ( − norte ) que nos da a norte + b norte = ( 0 ) , y la secuencia cero es una secuencia constante, que es trivialmente convergente.

Dado que estaba buscando un ejemplo y no se pudo encontrar, pero ninguna respuesta ha sido aceptada, puedo ofrecer esto como un ejemplo de uno... aunque puede que no sea apropiado en el contexto de la etiqueta análisis real .

Dejar ∀ i : a i , b i ∈ Z [ 1 2 ] / Z los racionales diádicos en el intervalo ( 0 , 1 ]

Luego considere las secuencias:

La secuencia convergente b norte = 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 dieciséis … → 1

y la secuencia divergente 1 − b norte

Su suma es la secuencia constante 1 , 1 , 1 … que converge en ( 0 , 1 ] .

Una secuencia convergente {an}{an}\{a_n\} y una secuencia divergente {bn}{bn}\{b_n\} tal que {an+bn}{an+bn}\{a_n+b_n\} es convergente
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