Problemas con una demostración de que toda sucesión real tiene una subsucesión monótona

Tengo algunos problemas con la visualización de esta prueba.
(Presentaré los problemas que tengo al final, con algunos pensamientos intuitivos relacionados con ellos en cursiva).

Teorema: Toda sucesión real tiene una subsucesión monótona.

Prueba (Thurston):
Tome cualquier$(x_m) \in R^\infty$y definir$S_m := \{x_m, x_{m+1},\dots \}$para cada$m \in \mathbb{N}$. Si no hay un elemento máximo en$S_1$, entonces es fácil ver que$(x_m)$tiene una subsecuencia monótona. (Dejar$x_{m_1} := x_1$, dejar$x_{m_2}$sea ​​el primer término de la sucesión$(x_2,x_3,\dots)$mas grande que$x_1$, dejar$x_{m_3}$sea ​​el primer término de la sucesión$(x_{m_{2}+1}, x_{m_{2}+2}, \dots)$mas grande que$x_{m_2}$, y así sucesivamente.) Por la misma lógica, si, para cualquier$m \in \mathbb{N}$, no hay elemento máximo en$S_m$, entonces hemos terminado. Supongamos entonces max$S_m$existe para cada$m \in \mathbb{N}$. Ahora define la subsecuencia$(x_{m_k})$recursivamente de la siguiente manera:

Problemas

1) ¿Por qué tenemos que construir$S_m$para cualquier$m > 1$?
Quiero decir, a mí me parece suficiente hacer la construcción entre paréntesis para$S_1$, también porque$S_m$debe ser - por construcción - un subconjunto de$S_1$, ¿bien?
Básicamente, tengo muchos problemas con la oración "Por la misma lógica, si, por cualquier$m \in \mathbb{N}$, no hay elemento máximo en$S_m$, entonces hemos terminado". Para mí, hemos terminado mucho antes.

2) ¿Qué pasa con el hecho de que$x_m = x_{m+1}$?
¿No debería estar cubierto explícitamente? ¿Y no está explícitamente descartado (es decir, el uso de "mayor" sin mencionar la igualdad) por la prueba?
De hecho, en ninguna parte se supone que estamos hablando de subsecuencias estrictamente monótonas (esto me parece realmente una suposición oculta).

3) ¿Construimos el$S_m$establecido para cualquier$m >1$porque tenemos que usarlo en la segunda parte de la demostración?

Muchas gracias por cualquier sugerencia o comentario.