Una pregunta sobre "Vicimus GEGAN" de Gauss

zy_:

Hay dos partes en la hipótesis de Biermann sobre el significado de "Vicimus GEGAN":

i) GEGAN debe leerse en orden inverso como sinónimo de (vicimus) N [exum medii] A [rithmetico-] G [eometricum] E [xpectationibus] G [eneralibus];

ii) Con "Vicimus GEGAN" el gran Gauss aludía a sus descubrimientos sobre la conexión entre las medias aritmético-geométricas y la teoría general de las funciones elípticas.

El artículo de Biermann en el Mitt. Gauss-Ges. Göttt. confirma la primera parte de la hipótesis o al menos la parte de ella en la que afirma que GEGAN debe leerse al revés . Para ser más precisos, Biermann informó sobre un manuscrito (de Gauß) encontrado en el observatorio astronómico de Göttingen por Herr Dr. Hartmut Grosser en algún momento de 1997; en cierta hoja del manuscrito (¡hay una copia en la penúltima página del artículo !), podemos encontrar la abreviatura NAGEG al menos tres veces, el conocido GEGAN, e incluso un dibujo de algo que se asemeja a un lemniscata

A pesar de que Biermann escribió en "das Fazit" de su artículo algo así como "queda por determinar exactamente qué significa la E", terminó expresando su creencia de que el boceto de la lemniscata justo debajo de "GEGAN" en ese página del manuscrito también validó la segunda parte de su conjetura:

Was nun aber der Fund so bedeutsam macht, sind die Majuskeln GEGAN mit der Skizze einer Lemniskate darunter. Das Wort GEGAN begegnet uns auf der Seite noch mehrfach, teils kunstvoll kalligraphisch verschnörkelt, auch in der Form gegan. Was nun aber allem die Krone aufsetzt, ist die Begegnung mit dem so lange vergeblich gesuchten Schlüsselwort NAGEG , auch in der Form nageg .

Welche Schlußfolgerungen können nun aus diesem Sachverhalt gezogen werden?

1. Das gemeinsame Auftreten des Schlüsselworts GEGAN und einer Lemniskate beweist, daß die Hypothese ... , wonach GEGAN mit dem agM in Verbindung steht, begründet war.

2. Das nunmehr bei Gauß nachgewiesene Schlüsselwort NAGEG stützt entscheidend die obige Hypothese ..., wonach die Gaußschen Schlüsselwörter rückwärts zu lesen sind.

Fazit: Die vom Verfasser bei seinen Dechiffrierungsversuchen Gaußscher Schlüsselwörter und Buchstabengruppen erzielten Resultate werden durch das von Herrn Dr. Grosser gefundene und freundlicherweise als Kopie zur Verfügung gestellte Gaußsche Notizblatt bestätigt. Mag unsicher bleiben, ob etwa E zu Exspectatio bzw. zu Expressio bzw. zu Explicatio zu ergänzen sei usw. – der Sinn der zunächst rätselhaften Schlüsselwörter dürfte nunmehr unstrittig sein: Die Chiffren bezogen sich auf die große Gaußsche Entdeckung des Zusammenhangs zwischen lemniskatischen Funktionen, agM und Potenzreihen und der daraus resultierendul Theorie der Modentchenntis. Teils haben sie retrospektiven ("vicimus", "demonstravimus"), teils programmatischen ("¡girar!") Charakter.

Traducción:

Lo que hace que este descubrimiento sea tan significativo son las letras mayúsculas GEGAN con el dibujo de una lemniscata debajo de ellas. Encontramos la palabra GEGAN varias veces más en esta página, a veces en florituras caligráficas ornamentadas, y también en la variante gegan. Lo mejor de todo es el encuentro con la palabra clave NAGEG , también en la variante nageg , cuya búsqueda había resultado difícil de alcanzar durante tanto tiempo.

¿Qué conclusiones se pueden extraer ahora de esta situación fáctica?

1. La aparición conjunta de la palabra clave GEGAN y una lemniscata prueba que la hipótesis..., según la cual GEGAN está vinculada a la AGM, estaba bien fundada.

2. La palabra clave NAGEG ahora documentada en los escritos de Gauss apoya decisivamente la hipótesis..., según la cual las palabras clave gaussianas deben leerse al revés.

En conclusión: los resultados logrados por el autor en sus intentos de descifrar las palabras clave y los grupos de letras gaussianos están siendo confirmados por la hoja de papel borrador encontrada y amablemente proporcionada en copia por el Dr. Grosser. Si bien puede seguir siendo incierto si, por ejemplo, E debe expandirse a Exspectatio, Expressio, Explicatio, etc., el sentido de las palabras clave inicialmente enigmáticas ahora debería estar fuera de discusión:

Estos cifrados se referían al mayor descubrimiento de Gauss de la conexión entre las funciones lemniscaticas, el AGM y las series de potencias y la teoría resultante de la forma modular y los trascendentales elípticos. Su carácter es en parte retrospectivo ("vicimus", "demonstravimus"), en parte programático ("¡girar!"). De esta forma, el estudio de los cifrados gaussianos permite asomarse al taller mental de un genio.

Si después de leer el artículo de Biermann de cabo a rabo, todavía le resulta difícil conciliar la segunda parte de su hipótesis con las entradas del diario de Gauss que enumeró en su pregunta, creo que no puede hacer nada peor que echar un vistazo a este artículo:

DA Cox, La media aritmético-geométrica de Gauss . L'Enseignement Mathématique , vol. 30, 1984, págs. 275-330.

En particular, en la página 321 del artículo de Cox encontrará esto:

... ¿cuánto sabía [Gauß] sobre la agM [en mayo de 1799]? Desafortunadamente, esta es una pregunta muy difícil de responder. Sólo unos pocos fragmentos dispersos que tratan del agM pueden fecharse antes del 30 de mayo de 1799 (ver [12, X.1, pp. 172-173 y 260]). En cuanto a la fecha de 1791 de su descubrimiento del agM, proviene de una carta que escribió en 1816 (ver [12, X.1, p. 247]), y se sabe que Gauss se equivocó en sus recuerdos de fechas. El único otro conocimiento que tenemos sobre el agM en este período es una tradición oral que sostiene que Gauss conocía la relación entre las funciones theta y el agM en 1794 (ver [12, III, 493]). Pronto veremos que esta afirmación no es tan escandalosa como podría sospecharse.

Curiosamente, Cox no mencionó en absoluto la hipótesis de Biermann sobre la entrada "Vicimus GEGAN" en su artículo...

@José Hdz. Stgo.:

Gracias por esta gran respuesta. Creo que debería agregar algunos comentarios sobre los materiales relacionados que recopilé de diferentes libros. (Dado que no soy un hablante nativo del idioma alemán ni estoy bien versado en él, a veces necesito la traducción de Google o la traducción profunda para comprender mejor todos estos misterios)

Creo que Biermann usó algunas hipótesis originadas por L. Schlesinger sobre el trabajo de Gauss sobre AGM y funciones elípticas (ver Fragmente zur Theorie des arithmetrisch-geometrischen Mittels aus den Jahren 1797-1799 , L. Schlesinger, 1911). Schlesinger hizo un gran esfuerzo en fechar algunos fragmentos sobre funciones elípticas en Leistenotizen de Gauss (en el que la mayoría de los registros están fechados a más tardar en 1798), lo cual es extremadamente importante para comprender el desarrollo de la teoría de Gauss sobre funciones elípticas. Schlesinger señaló que los fragmentos en el Leistenotizen que contiene AGM consisten en:

a) AGM y la rectificación de elipses;

b) AGM y la serie cuyos exponentes son funciones cuadráticas (es decir, funciones theta);

c) Expansión en serie de integrales elípticas así como ecuaciones diferenciales lineales para integrales elípticas de primera y segunda clase.

En 1911, Schlesinger fechó estos materiales a más tardar en 1798, así como otros registros en el Leistenotizen . Es muy probable que esta hipótesis contradiga lo que escribió Gauss en su diario el 30 de mayo de 1799 (lo que implica que Gauss no conocía la relación entre AGM y la integral elíptica antes de 1799), por lo que posteriormente Schlesinger la cambió al verano de 1799 (Gauss's Werke, X-1 , págs. 273).

En el mismo año (noviembre de 1799), Gauss comenzó su Scheda Ac , otro registro importante sobre el propio desarrollo de la teoría de la función elíptica de Gauss. En el Scheda Ac se puede ver la palabra cifrada GALEN (Gauss's Werke, X-1 , pp. 273). Confío en la interpretación de Biermann del GALEN de que Gauss se dio cuenta de la importancia del recíproco de AGM (que es igual a alguna integral elíptica del primer tipo), y no rechazo la hipótesis de Biermann de que "Vicimus GEGAN" es un descubrimiento sobre AGM. pero no creo que "Vicimus GEGAN " sea un descubrimiento sobre el AGM y las integrales elípticas/thetafunciones:

I) La fecha del registro "Vicimus GEGAN " es el 21 de octubre de 1796. Gauss comenzó su investigación sobre la lemniscata meses después (enero de 1797). Es muy improbable que Gauss ya conociera la relación entre la AGM general y la integral elíptica de primera clase cuando ni siquiera había comenzado su investigación sobre un caso especial (la integral lemníscatica).

II) Dudo que la tradición oral que recogió Schering sea fiable. Gauss ya lo sabe

$$\theta_4(e^{-\pi})=1-e^{-\pi}+e^{-4\pi}-\cdots=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}$$

$$\theta_2(e^{-\pi})=2e^{-\pi/4}+e^{-9\pi/4}+\cdots=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}$$

$$\theta_3(e^{-\pi})=1+e^{-\pi}+e^{-4\pi}+\cdots$$

$$\theta_3^4=\theta_4^4+\theta_2^4$$

en 1798 ( Scheda Aa , ver Gauss's Werke, III , pp. 418), donde$\varpi$es la constante lemniscatica

$$\varpi=2\int_{0}^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}.$$

Si conocía la relación entre AGM y las funciones theta en 1794, puede probar que

$$AGM((\theta_3(q))^2,(\theta_4(q))^2)=1$$ sin ningún esfuerzo, lo que definitivamente respondería la pregunta de Gauss el 30 de mayo de 1799. La carta de Pfaff (Gauss's Werke, X-1 , pp. 273, que se cita en Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory por Jeremy Gray ) sugiere que la prueba era esquiva para Gauss incluso en noviembre de 1799.

III) Si Gauss había descubierto algo sobre AGM en 1796, podría ser otra cosa, por ejemplo, la fórmula asintótica para AGM en Scheda Ac (Gauss's Werke, X-1 , pp. 186, Gauss también dijo que descubrió que AGM se puede escribir como el cociente de dos funciones trascendentales hace mucho tiempo en la entrada 101 de su diario). Pero es probable que nunca podamos saber qué descubrió Gauss el 21 de octubre de 1796.