Una pregunta sobre la fijación de calibre

Tal como lo entiendo, una teoría física que tiene una simetría de calibre es simplemente una que tiene grados de libertad redundantes en su descripción y, como tal, es invariante bajo un grupo continuo de (en general) transformaciones locales, las llamadas transformaciones de calibre .

Con esto en mente, considere el electromagnetismo como un ejemplo prototípico. esto tiene un tu ( 1 ) simetría de calibre, tal que la teoría es invariante bajo transformaciones del vector de cuatro potenciales, A m

A m → A ′ m = A m + ∂ m Λ ( X )
dónde Λ ( X ) es alguna función local de coordenadas espacio-temporales. ¿Es entonces correcto decir que la teoría se describe mediante una clase de equivalencia de vectores de cuatro potenciales, A m tal que
A ′ m ≅ A m ⟺ A ′ m = A m + ∂ m Λ ( X )
Dado esto, ¿“ elegir un calibre ” equivale simplemente a elegir un cuatro potencial en particular? A m de esta clase de equivalencia?

Además, " fijar un calibre " equivale simplemente a especificar alguna restricción en la elección de A m tal que " selecciona " un solo cuatro potencial A m de esta clase de equivalencia?

Por ejemplo, ¿es correcto decir que elegir el calibre Lorenz ∂ m A m = 0 elimina parcialmente la libertad de calibre, ya que restringe la elección de los cuatro potenciales A m tal que satisfaga ∂ m A m = 0 , sin embargo, no soluciona completamente la elección de A m , es decir, no " fija el calibre " por completo, ya que queda un subespacio de transformaciones de calibre que conservan esta restricción, correspondiente a las funciones de calibre ψ que satisfacen la ecuación de onda ∂ t 2 ψ = C 2 ∇ 2 ψ ?!

Respuestas (2)

Sí, todas esas cosas son correctas.

La clase de equivalencia de potenciales que están relacionados por transformación de calibre se denomina órbita de calibre , ya que es una órbita para la acción del grupo de transformaciones de calibre sobre el espacio de potenciales.

Elegir/arreglar un indicador significa seleccionar representantes particulares A de cada órbita de calibre de acuerdo con una regla codificada por F [ A ] = 0 para algunos funcionales F , es decir, selecciona aquellos potenciales que cumplen la ecuación. De hecho, una fijación de calibre parcial está dada por cosas como F [ A ] = ∂ m A m , para cual F [ A ] = 0 tiene más de una solución en una órbita dada. Estas soluciones están relacionadas por transformaciones de calibre con funciones de parámetros armónicos, y estas transformaciones se denominan simetría de calibre residual .

En general, no es posible fijar un indicador que elija solo un representante de cada órbita. Esto se conoce como el problema de Gribov .

Estaba a punto de hacer una pregunta similar a la de OP. Pero tu respuesta aclaró la cosa. Solo una pregunta. ¿Cómo puedo saber que la condición de fijación de un indicador es adecuada? Por ejemplo: ∂ m A m = 0 , el calibre de Lorentz. ¿Cómo sé que se permite este tipo de fijación de calibre, dada la simetría de mi calibre? A m → A m + ∂ m α ?
@Luthien Para "saber" que se permite la fijación de un indicador, debe demostrar que, a partir de arbitraria A , puedes encontrar un α tal que A m + ∂ m α cumple la condición de calibre. es decir, tomas F [ A + ∂ m α ] = 0 , tratar A como se da y demuestre que una solución para α existe

"¿"arreglar un calibre" equivale simplemente a especificar alguna restricción en la elección de A m tal que "selecciona" un solo cuatro potencial A m de esta clase de equivalencia?" Hablando en términos generales, no del todo. Por ejemplo, si considera, digamos, la interacción de los campos de Maxwell y Dirac, tiene que cambiar la fase del campo de Dirac cuando cambia el indicador para el campo de Maxwell para proporcionar invariancia de indicador .

¿Cómo se cambia en la práctica la fase del campo de Dirac? Por ejemplo, decide trabajar con el indicador Coulomb para EMF. ¿Qué haces con las soluciones de la ecuación de Dirac?
@VladimirKalitvianski: Ver, por ejemplo, hep.phy.cam.ac.uk/theory/webber/GFT/gft_handout4_06.pdf , pp.2-3. Estoy seguro de que puede resolver los detalles del indicador de Coulomb.
Lo que sé es que las personas simplemente resuelven la ecuación de Dirac independientemente de la corrección de calibre que hagan.
@VladimirKalitvianski: Eso es correcto. Pero luego, las soluciones que obtienen para el campo de Dirac (la función de onda de 4 espinores) se adaptan al calibre que eligieron para los 4 potenciales del campo electromagnético, no para ningún otro calibre. Tenga en cuenta que, digamos, el lagrangiano de los campos de Dirac y Maxwell que interactúan solo es invariante de calibre si transforma ambos campos simultáneamente.
Pero en la práctica no transformamos explícitamente el campo de Dirac. Las soluciones de Dirac son diferentes para diferentes calibres y sin duda se conectaron con la transformación del calibre, pero nunca las transformamos nosotros mismos.
@VladimirKalitvianski: No veo muy bien qué conclusiones ofrece. ¿Qué problemas tienes con mi respuesta?
Usted escribe: "En términos generales, no del todo..." Y digo que nadie hace las transformaciones del campo de Dirac mientras resuelve las ecuaciones.
@VladimirKalitvianski: Francamente, no veo una contradicción directa entre lo que digo y lo que dices. Eso no significa que esté de acuerdo o en desacuerdo con su declaración "nadie hace las transformaciones del campo de Dirac mientras resuelve las ecuaciones". Pero supongamos por un momento que su declaración es correcta. Imagina una situación diferente. No está resolviendo la ecuación de Dirac, sino tratando de usar una solución conocida (digamos, de otra persona) de la ecuación. Sin embargo, por alguna razón, debe corregir una condición de calibre que es diferente a la de la solución original. Entonces tienes que (continuación)
@VladimirKalitvianski: transforme tanto el potencial 4 del campo electromagnético como el 4-spinor de Dirac.
Una pregunta sobre la fijación de calibre
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v