Partícula cuántica en un anillo con flujo magnético a través de él: ¿Podemos medir el campo magnético?

Considere una partícula cuántica en un anillo y un campo magnético homogéneo distinto de cero perpendicular al disco que define el anillo y es distinto de cero solo en el interior del perímetro del anillo. Dejar B → = B 0 z ^ y el flujo a través del anillo sea Φ .
Para el potencial vectorial, podemos elegir (en coordenadas cilíndricas) A → = Φ 2 π 1 ρ ϕ ^ .

Si trato de realizar una transformación de calibre A ′ → = A → − ∇ → F para calibrar el campo magnético yendo a un nuevo calibrador donde A ′ → = 0 → , Encuentro F = Φ 2 π ϕ . Entonces, ya que he encontrado una función F para hacer esto, parece como si hubiera logrado eliminar el campo magnético, ¡lo cual es físicamente imposible!

¿Que está sucediendo aquí?
Sospecho que algo no está bien porque F tiene varios valores en X = 0 (que corresponde a ϕ = 0 , 2 π , . . ) . Si este es el caso, ¿cómo soluciono esto y obtengo A ′ → ≠ 0 ? ¿Existe una forma sistemática de tratar casos como este, es decir, encontrar una solución adecuada? F que se ocuparía de este problema y daría el campo magnético correcto?

Parece que respondiste tu propia pregunta; esto no está bien porque tu F es multivaluado.
@knzhou He editado la pregunta para aclarar más lo que estoy preguntando.
Todavía no estoy seguro de lo que estás preguntando. ¿Qué quiere decir con 'dar el campo magnético correcto'? Ya sabes lo que es; es B 0 z ^ .
@knzhou a través de la transformación de calibre anterior, encontré un F tal que A ′ → = 0 lo que da B → = 0 , lo cual es claramente incorrecto. Entonces, la pregunta es, ¿cómo ver exactamente dónde falla todo y cuál es la forma sistemática y correcta de realizar transformaciones de calibre para que el problema anterior no aparezca?

Respuestas (1)

Describiendo el problema como "porque F tiene varios valores" es una forma de describir el problema, pero en realidad no es la raíz del problema. La raíz del problema es la singularidad en r = 0 . Para calificar como una transformación de calibre, la función debe obedecer

∇ × ∇ F ( X , t ) = 0
en todos lados.

Parece que esta función funciona si solo tomas las derivadas, pero eso es engañoso. − 1 4 π ∇ 2 r − 1 parece que desaparece por el mismo criterio cuando es, de hecho, la función delta de Dirac. Lo mismo sucede aquí. Así como es posible mostrar la existencia de la función delta en el caso de la divergencia del gradiente usando el teorema de la divergencia, una aplicación del teorema de Stoke le mostrará que

∮ γ ∇ F ⋅ d ⁡ s → ≠ 0
siempre que el origen esté encerrado por el bucle, γ , lo que demuestra que la transformación de indicador no es válida.

¿Cuál es la forma sistemática de incluir estas funciones delta "ocultas"? ¿Cómo puedo hacer que estas transformaciones de calibre sean correctas desde el principio?
@TheQuantumMan ¿Quieres decir "excluir"? ¿O quiere hacer una transformación de indicador con estas funciones de todos modos? Si es lo primero, es más fácil quedarse con las funciones continuas. Puede ser posible permitir discontinuidades según la topología de la discontinuidad, pero no lo sé definitivamente. Si es lo último, sería necesario modificar lo que queremos decir con una transformación de calibre para mantener mi → y B → invariante bajo la clase más amplia de funciones.
Me refiero a esto último. ¿Cómo podríamos realizar sistemáticamente estas transformaciones de calibre con el uso de la clase de función más amplia que usted indicó?
@TheQuantumMan No lo sé, y no sé si alguien se ha molestado en resolverlo. Sospecho que puede permitir discontinuidades siempre que no tengan una ventaja. Podría ser posible permitir bordes en las discontinuidades si modifica las ecuaciones de transformación de calibre de tal manera que mantengan mi → y B → arreglado, incluso para esta clase más amplia de funciones, pero no lo he investigado.
Partícula cuántica en un anillo con flujo magnético a través de él: ¿Podemos medir el campo magnético?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v