Expresión general del corrimiento al rojo: ¿explicación?

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Expresión general del corrimiento al rojo: ¿explicación?

Física
cosmología
tensor-métrico
cálculo tensorial
relatividad general
corrimiento al rojo gravitacional

Vicente

En algunos artículos, los autores ponen la siguiente fórmula para el corrimiento al rojo cosmológico $z$ :

$1+z=\frac{\left(g_{\mu\nu}k^{\mu}u^{\nu}\right)_{S}}{\left(g_{\mu\nu}k^{\mu}u^{\nu}\right)_{O}}$

dónde :

$S$ es la fuente y $O$ el observador
$g_{\mu\nu}$ es la métrica
$k^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}$ es la derivada coordinada con respecto al parámetro afín $\lambda$
$u^{\nu}$ es la 4-velocidad del fluido cósmico

Mi primera pregunta es: según la suma de Einstein, ¿es una fracción de sumas $\left(\frac{\sum_{\mu\nu}X}{\sum_{\mu\nu}Y}\right)$ o una suma de fracciones $\left(\sum_{\mu\nu}\frac{X}{Y}\right)$ ?

Mi segunda pregunta (y más importante) es: ¿de dónde viene esta fórmula? ¿Dónde puedo encontrar una "demostración"/"derivación"/"explicación" de esto?

usuario4552

Díganos dónde encontró esto, para que tengamos algo de contexto. Lo único razonable que puedo imaginar a lo que se referiría el "fluido cósmico" sería el marco de descanso del CMB o el flujo del Hubble. Consideremos el caso más simple, donde tanto la fuente como el observador están en reposo en relación con el CMB. Entonces los cuatro vectores de velocidad

u

$u$ son ambos de la forma (1,0,0,0) en sus respectivos marcos S y O. La ecuación se convierte en

1 + z = f_{S} / f_{O}

$1+z=f_S/f_O$ , que simplemente se lee como una definición de

z

$z$ en términos del desplazamiento Doppler.

usuario4552

También puede considerar el caso en el que S y O están separados por una pequeña distancia, por lo que la expansión cosmológica es insignificante. Luego, el mismo marco de Lorentz puede cubrirlos a ambos, y asumo (no lo he resuelto) que luego recupera el cambio SR Doppler.

MBN

El

u^{λ}

$u^\lambda$ es presumiblemente la 4-velocidad de un observador. El producto interno es simple la frecuencia (hasta una constante) que mide el observador con 4 velocidades. La identidad es bastante trivial como para esperar ver una prueba en cualquier libro de texto.

usuario4552

@MBN: Puede ser una identidad trivial en SR, pero dice que es válida para GR, en el espacio-tiempo cosmológico. Eso me parece extremadamente no trivial. Si es cosmológicamente válido, ¿puede indicarnos un libro de texto donde se discuta?

MBN

@BenCrowell: pensé que seguía directamente del principio de equivalencia. Es una afirmación local, la frecuencia que mide un observador. Lo he visto en Wald, donde deriva el desplazamiento hacia el rojo para el espacio-tiempo de Schwarzschield y FRWL. Pero solo lo dice.

usuario4552

@MBN: Lo siento, no hay suficiente café, el cerebro no funciona. Mi comentario más reciente fue incorrecto.

Respuestas (2)

Expresión general del corrimiento al rojo: ¿explicación?

Díganos dónde encontró esto, para que tengamos algo de contexto. Lo único razonable que puedo imaginar a lo que se referiría el "fluido cósmico" sería el marco de descanso del CMB o el flujo del Hubble. Consideremos el caso más simple, donde tanto la fuente como el observador están en reposo en relación con el CMB. Entonces los cuatro vectores de velocidad $u$ son ambos de la forma (1,0,0,0) en sus respectivos marcos S y O. La ecuación se convierte en $1+z=f_S/f_O$ , que simplemente se lee como una definición de $z$ en términos del desplazamiento Doppler.
También puede considerar el caso en el que S y O están separados por una pequeña distancia, por lo que la expansión cosmológica es insignificante. Luego, el mismo marco de Lorentz puede cubrirlos a ambos, y asumo (no lo he resuelto) que luego recupera el cambio SR Doppler.
El $u^\lambda$ es presumiblemente la 4-velocidad de un observador. El producto interno es simple la frecuencia (hasta una constante) que mide el observador con 4 velocidades. La identidad es bastante trivial como para esperar ver una prueba en cualquier libro de texto.
@MBN: Puede ser una identidad trivial en SR, pero dice que es válida para GR, en el espacio-tiempo cosmológico. Eso me parece extremadamente no trivial. Si es cosmológicamente válido, ¿puede indicarnos un libro de texto donde se discuta?
@BenCrowell: pensé que seguía directamente del principio de equivalencia. Es una afirmación local, la frecuencia que mide un observador. Lo he visto en Wald, donde deriva el desplazamiento hacia el rojo para el espacio-tiempo de Schwarzschield y FRWL. Pero solo lo dice.
@MBN: Lo siento, no hay suficiente café, el cerebro no funciona. Mi comentario más reciente fue incorrecto.

Jorge Lavín · Answer 1

Para la primera pregunta, es la misma cantidad, el producto escalar de Minkowski de los cuatro vectores $k$ y $u$ que puedes llamar $A_{O}$ y $A_{S}$ , en general

{gramo}_{m v} k^{m} {tu}^{v} = k_{v} {tu}^{v} \equiv A

$g_{\mu\nu}k^{\mu}u^{\nu}=k_{\nu}u^{\nu}\equiv A$

calculado para la fuente y calculado para el observador. Así que tienes

1 + z = \frac{A_{S}}{A_{O}}

$1+z=\frac{A_{S}}{A_{O}}$

Entonces, ¿esto es una fracción de sumas y no una suma de fracciones?
Sí. La prueba va en la línea de que la energía del fotón ( $E=h\nu$ ) es precisamente ese producto punto, pero no puedo dar una explicación detallada
Esto está bien en cuanto a los problemas puramente de notación, pero no explica por qué el producto interno $k_\nu u^\nu$ es de interés, o por qué el "fluido cósmico" es relevante.
@BenCrowell es justo, acabo de responder la mitad de la pregunta OP y afirmo que no puedo dar una explicación completa de por qué es relevante esa cantidad.
@BenCrowell: $k_\nu u^\nu$ es solo la energía, y el "fluido cósmico" entra porque estamos tratando con una fuente y un observador que se mueven con el flujo del Hubble

Cristóbal · Answer 2

La energía $h\nu$ de un fotón es simplemente la contracción

h v = {gramo}_{α β} k^{α} {tu}^{β}

$h\nu = g_{\alpha\beta} k^\alpha u^\beta$ de su impulso

k^{μ}

$k^\mu$ con la velocidad del cuadro

u^{μ}

$u^\mu$ .

El cambio de frecuencia viene dado por

1 + z = \frac{v_{S}}{v_{O}} = \frac{({gramo}_{α β} k^{α} {tu}^{β})_{S}}{({gramo}_{σ ρ} k^{σ} {tu}^{ρ})_{O}}

$1 + z = \frac{\nu_S}{\nu_O} = \frac{(g_{\alpha\beta} k^\alpha u^\beta)_S}{(g_{\sigma\rho} k^\sigma u^\rho)_O}$ donde denotamos las velocidades de la fuente y del observador con

u^{μ}

$u^\mu$ ya que estamos tratando con el caso especial del corrimiento al rojo cosmológico, donde se supone que la fuente y el observador se mueven con el flujo del Hubble.

El momento $(k^\mu)_S$ y $(k^\mu)_O$ del fotón en los momentos de emisión y absorción están relacionados por transporte paralelo a lo largo de la línea de mundo del fotón, y si la línea de mundo no está parametrizada con afinidad, resolver la ecuación de transporte paralelo es una forma de calcular el cambio de frecuencia que funciona para espacios-tiempos arbitrarios.

En realidad, esto no es más que la generalización del efecto Doppler relativista especial, y en el espacio-tiempo de Minkowski (o incluso en coordenadas normales si transportamos la velocidad de la fuente a lo largo de la geodésica de fotones), se reduce al factor Doppler.

Me he tomado el tiempo para escribir esto con más detalle.

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