Una identidad para el formalismo de helicidad de espinor

El problema es la notación descuidada (pero conveniente). Los objetos,

$$\begin{equation} \left| k \right] ^a , \quad \left| p \right\rangle ^{ \dot{a} } \end{equation}$$
son espinores de dos componentes mientras que $\gamma_\mu$es una matriz de 4x4. Así que ni siquiera está claro qué significan los corchetes. Cuando escribimos el paréntesis, $$\begin{equation} \left[ k | \gamma ^\mu | p \right\rangle \end{equation}$$ lo que realmente queremos decir es que elegimos la matriz de Pauli en el $\gamma ^\mu$con la estructura de índice correcta. Por ejemplo, $$\begin{equation} \left[ k \right| ^a \left( \begin{array}{cc} 0 & \sigma ^\mu _{ a \dot{a} } \\ \bar{\sigma} ^\mu _{ \dot{a} a } & 0 \end{array} \right) \left| p \right\rangle^ {\dot{a}} = \left[ k \right| ^a \sigma ^{ \mu } _{ a \dot{a} } \left| p \right\rangle ^{ \dot{a} } \end{equation}$$ con resultados similares para los otros brackets.

Ahora volviendo a tu pregunta. El$\gamma ^\mu$matriz no es invariante bajo conjugación compleja:

$$\begin{equation} \left( \gamma ^\mu \right) ^\dagger = \gamma _0 \gamma ^\mu \gamma _0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & \bar{\sigma} ^\mu \\ \sigma ^\mu & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$ por lo que todo lo que hace la conjugación compleja es cambiar las posiciones de la $\sigma ^\mu$y $\bar{\sigma} ^\mu$matrices. Por lo tanto, podemos omitir la conjugación compleja si recordamos la prescripción de "elegir la matriz de Pauli con la estructura de índice correcta".

Entonces nosotros tenemos,

$$\begin{equation} \left( \left[ k \right| ^a ( \gamma ^\mu ) _{ a \dot{a} } \left| p \right\rangle ^{ \dot{a} } \right) ^\ast = \left[ p \right| \gamma ^\mu \left| k \right\rangle \end{equation}$$ donde se entiende que ahora estamos recogiendo el $\bar{\sigma} ^\mu$matriz en lugar de $\sigma ^\mu$en $\gamma ^\mu$.