Gira con helicidad indefinida

OK, sospecho que entiendo tu perplejidad... Simplemente estás engañado por el lenguaje descuidado e inapropiado "helicidad diestra". No existe tal cosa.

Para simplificar, tome el giro hacia arriba en la dirección z y el impulso en la dirección z ,$p^\mu= (\sqrt{m^2+p^2},0,0,p)$, e inspeccione su espinor en la base de Weyl (quiral),$\psi_L=\frac12(1-\gamma^5)\psi=\begin{pmatrix} I_2 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi,\quad \psi_R=\frac12(1+\gamma^5)\psi=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I_2 \end{pmatrix}\psi$,

$$u(p)= \left(\begin{array}{c} \sqrt{p ·\sigma}\xi_{\uparrow} \\ \sqrt{p ·\bar\sigma}\xi_{\uparrow} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \psi_L \\ \psi_R \end{array}\right).$$

Ahora$\sqrt{p ·\sigma}\xi_{\uparrow}= \sqrt{E-p} ~\xi_{\uparrow}$, y$\sqrt{p ·\bar\sigma}\xi_{\uparrow}= \sqrt{E+p}~\xi_{\uparrow}$, de modo que

$$u(p)= \left(\begin{array}{c} \sqrt{E-p} ~\xi_{\uparrow} \\ \sqrt{E+p}~\xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ por supuesto tanto quiral izquierda como derecha. La componente superior no desaparece, en general, por helicidad positiva .

Inspeccione 3 límites. Para p = 0, E = m y

$$u(0)= \sqrt{m} \left(\begin{array}{c} \xi_{\uparrow} \\ \xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ completamente imparcial: la helicidad no está definida.

Para m = 0, los dos componentes superiores se proyectan y solo los dos inferiores (en realidad solo el tercero) sobreviven,

$$u(p)= \sqrt{2p} \left(\begin{array}{c} 0 \\ \xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ tan verdaderamente diestro: el origen de referirse descuidadamente a la helicidad positiva como "R", ya que la helicidad y la quiralidad son idénticas.

Para$p\gg m$,

$$u(p)\longrightarrow \sqrt{2p} \left(\begin{array}{c}m/2p ~ \xi_{\uparrow} \\ \xi_{\uparrow}\end{array}\right),$$ así que también hay una pieza quiral izquierda, pero tremendamente subdominante a la pieza quiral derecha. Nuevamente, este es un espinor de helicidad positiva no divorciado de su pieza quiral izquierda.

La declaración del anverso se proporciona en Wikipedia : Para partículas masivas, distintos estados de quiralidad (p. ej., como ocurre en las cargas de interacción débiles) tienen componentes de helicidad tanto positivos como negativos, en proporciones proporcionales a la masa de la partícula .

El libro de texto de Itzykson & Zuber, 2-2-1 , proporciona una definición útil del operador de helicidad; en nuestro caso,

$$\hat{h}= \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0 \\0 & \sigma^3 \end{pmatrix},$$ de acuerdo con lo anterior: lee un valor propio de +1/2 tanto para el superior, $\psi_L$, y el inferior, $\psi_R$, componente, como debería.

A menos que uno esté seguro de evitar la trampa del lenguaje, o uno sea un fanático de las declaraciones paradójicas para mantener a la audiencia nerviosa, es una idea desafortunada estar lanzando términos de quiralidad para cuantificar la helicidad...

• PD. ¡Un título más apropiado habría sido "Helicity con quiralidad indefinida"!

Hay dos cosas que creo que podrías estar malinterpretando. Una es que el espinor no solo contiene información sobre el giro, también contiene información sobre la energía y el momento.

$$\bar{u}\gamma^\mu u= 2(E,\vec{p})$$ Necesitas usar los 4 componentes del espinor para describir esto.

La otra cosa es llamar a los componentes de un espinor$\psi_L$y$\psi_R$solo tiene sentido para partículas sin masa (o partículas que se mueven muy rápido).

Si estás en reposo,$p=(m,0,0,0)$y el componente 0 de$\sigma$es la matriz identidad, por lo que su espinor es simplemente

$$u(p_{rest frame})= \left(\begin{array}{c} \sqrt{m}\xi_{\uparrow} \\ \sqrt{m}\xi_{\uparrow} \end{array}\right)$$ Y ambos $\psi_L=\psi_R$no importa si está apuntando hacia arriba o hacia abajo (o cualquier punto intermedio). A medida que impulsa los componentes en la dirección del giro, uno de $\psi_L$o $\psi_R$se hará más pequeño y el otro más grande. En el límite de momento muy grande pero finito, una de estas dos componentes será muy pequeña dependiendo de la helicidad. Este es el límite en el que los nombres $\psi_R$y $\psi_L$tener sentido. Pero el componente 'incorrecto' aún debe ser distinto de cero para brindarle información sobre el impulso.

Entonces el problema es que no entendí eso$\psi_L$y$\psi_R$son estados propios de quiralidad , no estados propios de helicidad .

En el límite de alta energía donde la helicidad y la quiralidad son básicamente lo mismo, el estado de hecho se convierte en un estado propio (hice los cálculos, pero es demasiado largo para publicarlo aquí a menos que alguien lo solicite).