Derivación de generadores conformes en formalismo de espinor helicidad

Entonces, primero permítanme señalar una referencia importante que es el libro de John Terning "Supersimetría moderna". Trabajaré en las convenciones de su Apéndice A, que creo que son bastante estándar.

¿Estás familiarizado con la forma habitual de descomponer$SO(4)$en$(SU(2) \times SU(2))/\mathbb{Z}_2$? Porque eso es esencialmente lo que vamos a hacer, pero con el grupo de Lorentz$SO(3,1)$. Quizás el lenguaje spinor de 2 componentes está oscureciendo un poco esto. Pero en$SO(4)$esto es bastante sencillo de ver: puedes descomponer cada$SO(4)$matriz en un producto de dos rotaciones "isoclínicas". Una rotación isoclínica es aquella que gira, por ejemplo, en el mismo ángulo en el$xy$avión como lo hace en el$zw$avión. Combina esto con una rotación anti-isoclínica (que rota los planos en el mismo ángulo, pero en direcciones opuestas), y puedes dividir los 6 generadores de$SO(4)$en dos conjuntos de 3, cada uno de los cuales genera un$SU(2)$. En cualquier caso, eso es todo lo que está haciendo este sofisticado material de helicity spinor, excepto en la firma lorentziana.

Ahora, tienes tus generadores de Lorentz, en el espacio de cantidad de movimiento, dado por

$$M_{\mu\nu} = p_\mu \partial_\nu - p_\nu \partial_\mu,$$

y debería poder verificar que estos realmente preservan su condición de impulso$p^2 = 0$, así que no te preocupes por eso. A continuación tienes tu expresión para$p_\mu$en términos de (para firma +---) un espinor de Weyl y su conjugado:

$$\sigma^\mu_{\alpha \dot \alpha} \, p_\mu = \lambda_\alpha \bar \lambda_{\dot \alpha}$$

También será útil invertir esta relación usando

$$\sigma^\mu_{\alpha \dot \alpha} \bar \sigma_\nu^{\dot \alpha \alpha} = 2 \delta^\mu_\nu$$

Por cierto, la matriz$\sigma^\mu$se llama entrelazador y describe el mapa entre dos representaciones diferentes de$SO(3,1)$. Es útil definir la combinación antisimétrica

$$\sigma^{\mu\nu} \equiv \frac{i}{4} \Big( \sigma^\mu \bar \sigma^\nu - \sigma^\nu \bar \sigma^\mu \Big),$$

porque de hecho describirá cómo actúa el entrelazador en nuestros generadores de Lorentz. Es decir, describe las combinaciones lineales particulares de generadores a tomar para efectuar la noción de transformaciones de Lorentz "isoclínicas".

Entonces, definamos

$$J_{\alpha \beta} = \frac12 (\sigma^{\mu\nu})_{\alpha \beta} \, M_{\mu\nu}$$

como las combinaciones lineales particulares de$M_{\mu\nu}$estamos interesados. Es doloroso escribir todos los índices, pero lo haremos una vez:

$$(\sigma^{\mu\nu})_{\alpha \beta} = \frac{i}{4} \epsilon_{\beta \gamma} \Big( \eta^{\nu \rho} \sigma^\mu_{\alpha \dot \delta} \bar \sigma_\rho^{\dot \delta \gamma} - \eta^{\mu \rho} \sigma^\nu_{\alpha \dot \delta} \bar \sigma_\rho^{\dot \delta \gamma} \Big)$$

Ahora, solo contrata esto con$M_{\mu\nu}$, y usa la relación$\sigma^\mu_{\alpha \dot \alpha} \, p_\mu = \lambda_\alpha \bar \lambda_{\dot \alpha}$. Deberías terminar con

$$J_{\alpha \beta} = \frac{i}{4} \Big( \lambda_\alpha \bar \lambda^{\dot \gamma} \sigma^\mu_{\beta \dot \gamma} \, \partial_\mu + \lambda_\beta \bar \lambda^{\dot \gamma} \sigma^\mu_{\alpha \dot \gamma} \, \partial_\mu \Big)$$

Fíjate que aún tengo las derivadas$\partial_\mu \equiv \partial / \partial p^\mu$ahí. Tenemos que averiguar qué hacer con ellos. Para resolver esto, solo observe lo siguiente (observe los índices superiores en$p^\mu$aquí):

$$\frac{\partial p^\mu}{\partial \lambda^\alpha} = \frac{\partial}{\partial \lambda^\alpha} \Big( \frac12 \sigma^\mu_{\beta \dot \beta} \lambda^\beta \bar \lambda^{\dot \beta} \Big) = \frac12 \sigma^\mu_{\alpha \dot \alpha} \bar \lambda^{\dot \alpha}$$

Usando esto, podemos ver que

$$\frac12 \bar \lambda^{\dot \gamma} \sigma^\mu_{\beta \dot \gamma} \frac{\partial}{\partial p^\mu} = \frac{\partial p^\mu}{\partial \lambda^\beta} \frac{\partial}{\partial p^\mu} = \frac{\partial}{\partial \lambda^\beta}$$

Finalmente, enchufando esto en$J_{\alpha \beta}$, obtenemos

$$J_{\alpha \beta} = \frac{i}{2} \Big( \lambda_\alpha \frac{\partial}{\partial \lambda^\beta} + \lambda_\beta \frac{\partial}{\partial \lambda^\alpha} \Big)$$

como se desee. Una secuencia similar de pasos puede producir el conjugado complejo$J_{\dot \alpha \dot \beta}$.

(Estoy bastante seguro de que tengo todos los factores de 2 correctos, ¡pero tenga cuidado con los signos menos!)