¿Por qué el valor de spin es ±1/2±1/2\pm 1/2?

No sé si esto es lo que OP realmente está preguntando (v1), pero es un hecho notable en la teoría de la representación , que es posible deducir solo de las suposiciones que

1. el espacio de hilbert$V$de estados es$2$-dimensional, y

2. el Real$so(3)$ álgebra de mentira

   $$[\hat{S}_i, \hat{S}_j ] ~=~i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k \qquad\qquad (A)$$ de operadores de espín$\hat{S}_i$ actúa sobre$V$,

eso

sólo puede ser una de las dos alternativas siguientes:

1. $m_s=\pm \frac{1}{2}$. ($V=\underline{2}$es una representación de dublet con espín$s=\frac{1}{2}$.)

2. $m_s=0$. ($V=\underline{1}\oplus\underline{1}$es una suma de representaciones singlete con espín$s=0$.)

Por supuesto, la segunda alternativa no es relevante para los electrones, que tienen espín$s=\frac{1}{2}$.

Para una demostración utilizando operadores de escalera, consulte, por ejemplo, la sección 5 de las notas de clase de 't Hooft . El archivo pdf está disponible aquí .

Para resumir la lógica, una vez que hemos adaptado la convención de escala de (A) y (B), no queda ambigüedad en lo que queremos decir con la variable$m_s$. Una vez que nos ponemos de acuerdo sobre el significado de$m_s$, podemos tener una discusión significativa de los posibles valores de$m_s$. A continuación usamos la teoría de la representación para concluir que los valores de$m_s$son medios enteros. Del mismo modo, la definición de los giros$s\geq 0$no son arbitrarios, sino escalados de tal manera que$\hbar^2s(s+1)$convertirse en los valores propios para el operador de Casimir $\hat{S}^2$.